Справочник архитектора. Том I. Первый полутом

С П Р А В О Ч Н И К А Р Х И Т Е К Т О Р А

СПРАВОЧНИК АРХИТЕКТОРА

А К А Д Е М И Я А Р Х И Т Е К Т У Р Ы

С С С Р

С П Р А В О Ч Н И К А Р Х И Т Е К Т О Р А

Т О М I первый полутом

Р Е Д А К Ц И О Н Н А Я

К О Л Л Е Г И Я

К. С. Алабян (главный редактор), Н. П. Былинкик, В. А. Веснин, Н. С. Дюрнбаум (зам. главного редак тора), Н. Я. Колли, А. В. Кузнецов, Г. Ф. Кузнецов, И. Е. Леонидов, А. Г. Мордвинов, H. X. Поляков, В. Н. Семенов

т .

' - , < ' '

;

М О С К В А

•

1

9

4

9

2020227879

Г*еударствекн ££ • ордена Ленин« і ШЛМТЕКА 6 G 6 F } им. В. И. ЛЕНИНА J

Ч ^ - З Ч И о ^

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Стр.

Предисловие

11

I. Математика

A. Действительные числа 1. Операции над действительными числами 2. Извлечение квадратного корня

14 15 15 16 17 17 25 26 26 27 27 34 35 35 36

3. Проценты

• •

4. Формулы сокращенного умножения 5. Приближенные вычисления

6. Золотое сечение 7. Некоторые постоянные

•

Б. Функции

8. Целая рациональная функция 9. Показательная функция 10. Логарифмическая функция 11. Тригонометрические функции 12. Обратные тригонометрические функции 13. Производная и интеграл . . . •

• . .

•

14. Таблица производных 15. Таблица интегралов

B. Решение уравнений

16. Линейные уравнения

37 38 38 39

17. Уравнения квадратные и биквадратные 18. Графическое решение уравнений . . . .

19. Способ Ньютона

.

Г. Измерение геометрических величин 20. Зависимость между элементами геометрических фигур . .

40 42 44 47

21. Уравнения кривых 22. Площади и длины 23. Объемы и поверхности

" . . .

• . .

Д. Логарифмическая линейка 24. Логарифмическая шкала. Выполнение операций . . . .

50

Содержание

6

Стр.

Е. Таблицы тригонометрических

функций

23. Синус и косинус 26. Тангенс и котангенс

56 58

}К. Разные таблицы 27 — 28. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные величины, окружности и площади круга

60 70

29. Мантиссы десятичных логарифмов

II. Номография

1. Введение

72 73 75 76 84 85 85 86 87 88 88 91 94 94 95 97

2. Функциональная шкала 3. Номограммы из выравненных точек 4. Номограммы с параллельными шкалами 5. Зетовая и радиальная номограммы 6. Номограмма с криволинейной шкалой 8. Номограммы со специальным индексом 9. Комбинированные номограммы 10. Бинарная шкала и бинарное поле 7. Обобщение о номограммах из выравненных точек . . . . •

•

11. Сетчатые номограммы

III. Элементы теоретической механики. Статика.

1. Основные понятия и определения 2. Плоские системы сил

а) Силы сходящиеся б) Силы параллельные

в) Силы произвольно направленные

3. Пространственные системы сил

• . . .

100 101 103

4. Центр тяжести

5. Трение

IV. Сопротивление материалов 1. Силы, или нагрузки, действующие на сооружения . . . . 2. Определение неизвестных сил. Понятие о статической определимости 3. Понятие о напряжениях и деформациях: 4. Два метода решения задачи сопротивления материалов . .

106 107 107 109 I l l 111 113 ИЗ 115 117 117

5. Виды деформаций 6. Растяжение или сжатие

7. Сдвиг 8. Изгиб

9. Кручение 10. Косой изгиб

11. Внецентренное сжатие или растяжение

7 Содержание

Стр

12. Изгиб и кручение

118 118 119 119 120 120 121 123 125 125 126 128 133 133 137 137 138 144 153

13. Продольный изгиб. Устойчивость

14. Жесткость

15. Механические характеристики некоторых материалов . .

16. Коэфициенты Пуассона 57. Коэфициенты линейного расширения 18. Геометрические характеристики сечений V. Статика сооружений 5. Расчетная схема. Типы конструкций 2. Классификация опор 3. Статическая неопределимость

• . . -

• .

' •

•

4. Свойства статически-неопределимых систем 5. Методы расчета статически неопределимых систем . . .

45. Статически определимые системы

а) Однопролетная балка на двух опорах б) Многопролетные балки. Балки Гербера

в) Арки сплошные

г) Фермы

7. Статически-неопределимые системы 8. Решение трехчленных уравнений способом Гаусса . . . .

VI. Гидравлика

А. Гидростатика

1. Гидростатическое давление 2. Давление на плоские фигуры 3. Давление воды на прямоугольные стенки

іоб 157 160 160

4. Частные случаи давления на криволинейные поверхности .

Б. Основы

гидродинамика 1. Уравнение Бернулли . . . . • 2. Уравнение расхода

'

162 164 164 167 167 168 169 171 174

3. Формула Шези

4. Каналы

5. Гидравлический расчет канализационных труб 6. Гидравлический расчет дренажных труб 7. Движен 'е жидкости в напорных трубопроводах 8. Потери напора в трубопроводах

9. Движение грунтовых вод

•

30. Приток грунтовых вод к колодцам, водосборным гале реям и т. п . VII. Строительная теплотехника Î . Теплотехнические требования, предъявляемые к наружным ограждениям отапливаемых зданий

175

178

12

Содержание

Стр.

2. Расчет наружных ограждений на теплопередачу . . . . . 3. Расчет температуры в ограждениях 4. Теплотехнические особенности отдельных частей на ружных ограждений 5. Воздухопроницаемость наружных ограждений

180 188

189 1РЗ 198 201 208

6. Теплоустойчивость 7. Влажностный режим

• . .

•

8. Форма здания и его внутренняя планировка

VIII. Электротехника

211

A. Общие данные Б. Действующие

напряжения

и системы

распределения

213

электрической энергии

1. Определение величины электрических нагрузок (осве тительной, бытовой и силовой; 2. Расчет электрической сети 3. Сведения об устройстве внутренней проводки 4. Трансформаторные подстанции (ТГ1) 5. Электрооборудование строительных площадок 6. Основные требования светомаскировки 7. Содержание проекта электрооборудования и его оформле ние . . . B. Рекомендуемые типы осветительной арматуры и способы проводки • . . .

214 217 220 226 227 232 232

233

IX. Архитектурная акустика

А. Обилие данные

1. Гармонические колебания

235 235 237 239 241 242 242 243 250

2. Звук и шум

3. Законы распространения звука 4. Интерференция звука 5. Дифракция звуковых волн

•

6. Звуковой луч 7. Реверберация 8. Поглощение 9. Отражение и эхо чения 1. Оперные театры 2. Концертные залы

' . . . . ,

Б. Проектирование акустики помещений различного

назна

251 256 256 257 261 262

3. Драматические театры и аудитории

4. Кинотеатры 5. Радиостудии 6. Киностудии

9 Содержание

Стр.

X. Звукоизоляция A. Передача звука ограждающими конструкциями

263

263

V-" Б. Звукоизоляция

.

'.

B. Краткие указания

о конструктивных

мероприятиях

по

ограждающих конструкций зданий . . . .

265 265 268 274 274 276

звукоизоляции

1. Стены и перегородки 2. Междуэтажные перекрытия

3. Окна 4. Двери

5. Лестницы и лестничные клетки

6. Водопроводные, отопительные и канализационные устрой ства

276

Г. Нормативные данные звукоизоляции

ограждающих

внут

ренних

конструкций

гражданских

зданий

массового

276

строительства

XI. F -Стественное и искусственное освещение

289

A. Основные фотометрические понятия

Б. Классификация

сооружений по требованиям к освещен

ности и инсоляции . ,

291

B. Факторы, определяющие условия естественного осветления и инсоляции помещений

295 295 300 305 308 318 320 332 333 335 337 338 345 348 352

1. Световой климат 2. Инсоляция

3. Конструктивные решения окон

Г. Практические способы расчета естественного освещения .

Д. Ориентация окон помещений по странам света

Е. Искусственное освеиіение помещений

XII. Химия

1. Основные понятия

2. Формулы соединений и уравнения реакций 4. Значения химических формул и уравнений 5. Наиболее важные типы химических соединений 6. Дисперсные системы и растворы 8. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева. . . 3. Валентность элементов 7. Химические процессы

10

Содержание

Стр.

XIII. Меры

354 356 361 365 369 371

A. Метрическая система

Б. Английская и~американская системы мер

B. Американские меры

Г. Эквивалентные

значения английских,

американских

и

метрических мер

Д. Старые русские меры

Е. Древние меры

Ж. 3, И, К. Л, М. Старые меры: французские, ские, венгерские, чехословацкие, итальянские,

австрий испанские

374 — 376

прусские, персидские

376 XIV. Условные обозначения . . . (377 — 393)

И. Старые меры разных стран и городов

Приложение "Таблица пролетных и опорных моментов и поперечных сил в опорных сечениях неразрезанных балок с равными проле-

ПРЕДИСЛОВИЕ Том I Справочника Архитектора состоит из двух полутомов, содержащих сведения, необходимые архитектору и инженеру для практической работы в области гражданского строительства. Помимо официальных материалов, в том I включены также •основные положения из инструкций и технических условий, подтвержденных практикой строительства или рекомендуемых к применению ведущими научными организациями СССР. По некоторым дисциплинам Редакция считала необходимым, помимо справочного материала, вкратце изложить их основное содержание. Следует помнить, что том I выпускается в период •бурного развития послевоенного строительства и не может по этому претендовать на непоколебимость сообщаемых им сведений, -выводов и рецептов, так как многое, считающееся сегодня по следним словом техники, завтра, при дальнейших достижениях научной мысли и практики строительства, может оказаться -устарелым. Для удобства пользования справочным материалом из тома I перенесены в том VIII („Конструкции гражданских зданий") „Указания по расчету и проектированию деревянных, каменных, ^бетонных, железобетонных и стальных конструкций". Настоящий том „Общие данные" входит в состав серии „Архитектурных Справочников", издаваемых Академией Архи тектуры СССР. В составлении отдельных частей Справочника (том I, пер вый полутом) приняли участие: т о разделу Математика доц. Н. И. Вайсфельд Номография доц. Н. И. Вайсфельд „ Сведения из механики канд. техн. наук К. К. Ан тонов .„ Сопротивление мате- канд. техн. наук К. К. Ан риалов тонов „ Статика сооружений канд. техн. наук К. К. Ан тонов ж Гидравлика докт. техн. наук проф. Н. С. Дюрнбаум

12

Предисловие

по разделу Строительная

тепло

канд. техн.

наук

доц .

техника

К. Ф. Фокин инж. А. А. Крюков

„ „

Электротехника

Архитектурная

акус

инж. Б. В. Шепетов, доц . С. П. Алексеев и канд. техн. наук Г. А. Гольдберг инж. П. А. Воронцов Вельяминов, ст. научн. сотр. А. К. Тимофеев , доц. А. Д. Чаплыгин доктор техн. наук проф. H. М. Гусев канд. хим. наук В. Н. Се - мишин ст. научн. сотр. инж. С. К. Лазаревич ст. научн. сотр. арх. И. П. Домшлак

тика

„

Звукоизоляция

в гра

жданских

зданиях

Естественное

и искус

ственное

освещение

Химия

Меры

Условные

обозначения

Второй полутом тома 1 готовится к печати и будет содер жать разделы: Начертательная геометрия, Антисейсмическое строительство, Строительство на макропористых грунтах, Общестроительные расчетные нормы, Противопожарные нормы, Нормы санитарно-технического оборудования, Типы и габариты мебели и кухонного оборудования, Сортамент сталей, Геодезия. Таблицы рисунков составлены авторами под руководством проф. Н. С. Дюрнбаум; графическая обработка проведена под руководством и при ближайшем участии ст. научн. сотр. арх. И. П. Домшлак, арх. В. С. Полумордвиновой, | И. И. Ивановым [, Й. А. Левшиной, инж. И. П. Деллос, Е. И. Штоколовой,

13

H. H. Смирновой, О. И. Раевской, Е. Л. Ижболдиной, Н. Г. Ор ловой. Техническая проверка текста выполнена инж. С. Г. Спе ранским. Рецензенты тома I: инж. П. С. Белиц-Гейман, проф. Н. И. Вайс фельд, канд. хим. наук Р. Р. Галле, канд. техн. наук Ц. И. Кроль, доц. Д. П. Пащевский, канд. техн. наук M. М. Порфирьев, арх. И. Л. Рабинович, арх. Д. В. Разов, доктор техн. наук, член-корр. Академии Архитектуры СССР, проф. Л. А. Серк, инж. M. Н. Соколов, инж. Б. Г. Тахтамы шев, доктор техн. наук проф. Б. Ф. Федоров. Главный редактор " Действительный член Академии ' Архитектуры Союза ССР К. С. Алабян Руководитель Научно-Исследовательского Отдела Архитектурных Справочников проф. Н. С. Дюрнбаум

I. МАТЕМАТИКА

А. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 1. Операции над действительными числами

Сложение, вычитание и умножение выполнимы над любыми числами; деление же —л ишь в том случае, если делитель отли чен от нуля. Возведение в степень определяется формулами: а" = а • а а • — 1 • î Яраэ где п — натуральное число; = С если а= £0 . Извлечение корня из действительных чисел в одних случаях выполнимо в пределах действительных чисел, в других случаях приводит к мнимым и комплексным числам, причем корень п" й степени имеет п значений (и—натуральное число). Возве дение в степень с дробным показателем определяется фор т мулой: а" — ]/ а'" , где m к п — целые числа и п ф 0. Операции над нулем : я 0 = a ; а • 0 = 0, где а — любое число; =• 0, если а ф 0; деление на нуль недопустимо, так как ° , где а ф 0, не дает н и к а к о г о числа, a —L не дает никакого о п р е д е - л е н н о г о числа; 0" = о, если я > 0; 0" не имеет смысла, если я < 0 ; 0° не дает определенного числа; j / Ö = 0, если я > 0 ; п ,— у 0 не имеет смысла, если Операции над числами не следует применять к символу бесконечности, так как со не является числом. а ~ ' 1 — )

Операции над действительными

числами

IS

Правила обращения со степенями и корнями, верные при любых показателях: а т . а п _ _ û " î + n . а т ; а п _ _ а т-п• — а тп_

—

' [ / > = а« ; а»0» = (а •

а " :

== ( ' у ) " ;

(У" а ) " = а (согласно определению). тп п /— —п ,— у а'"Р = уаР ; j/a = ; у а « ,— П /— n f П . — п п у а • у b = у ab ; а : = ]/а : b ; (п п.-— т ГП тп,— \У а ) = уа т ; у у о — у а.

2. Извлечение квадратного корня Правило извлечения квадратного корня-из числа приводнтсяг на примерах: Пример I (из точного Пример И (с точностью квадрата) до 0,01) у 12*81 '64 = 358 ] / Т Ш = 20,7 9 4 65 38 ' 1 4 З'О 5 325 407 ЗОО'О 708 566 ' 4 7 2849 8 5664 151 Корни выше второй степени лучше извлекать приближенно с помощью логарифмов. Квадратные и кубические корни, а также вторые и треть» степени для чисел 1—500 см. табл. 16 3. Проценты 1) Дано число N; найти Р °/ 0 ог этого числа: Р „

Математика*

16

2) Найти число, Р % которого равен М. Р М. 100 ш Г х = / И ; х = " г - - 3 ) Сколько процентов составляет число M от числа Л/?

x = w - 100.

4) Формула простых процентов: А—а ( 1 ~ r t ) ; Формула сложных процентов: А ~ а ( l - j - г У ,

где а — начальный капитал,

г — прибыль с 1 руб . в год

\ г = = Ш г ) ' ^ ~ ~ ч и с л 0 л е т > &—н а р аще нный капитал. 5) Закон непрерывного роста. Формула сложных процентов при начислении их через каж 1 .дую — часть года : J m А = а ( 1 + - Y \ 1 т) , •л при непрерывном росте : с А = а- lim : 1 4 - —Y' d — а • e rt , V 1 m J ' m —> со где е — так называемое н е п е р о в о ч и с л о , основание нату- / 1 4 п ральных логарифмов; е — і і т ( 1 - j j . m —> со ^

4. Формулы сокращенного умножения

(а ± b f = а а ± : З а Ч А

3 ±

г Sab'

(а + Ь) п = аР 4- па п -Ч +

+ . . . + Ь п ,

.

или

a n ~ l b

( e - f

=

С д

4 -

4 - С\ a n ~ k b k 4 - . . . + b n ,

17

Золотое сечениё

где С — число сочетаний из я элементов по k, причем С' л п ,п—к п ( а + 6) • (а — ^ ^ а 2 — !? 2 , (a±ô) • (а 2 +аЬ-\-Ь 2 )=а 3 ±Ь 3 . 5. Приближенные вычисления Выполняя операции над приближенными числами, можно •уководствоваться следующими правилами 1 : 1) при сложении и вычитании сохранять в сумме столько д е с я т и ч н ы х з н а к о в , сколько их в приближенном данном с н а и м е н ь ш и м числом десятичных знаков; 2) при умножении и делении сохранять в произведении столько з н а ч а щ и х ц и ф р , сколько их имеет приближенное данное с н а и м е н ь ш и м числом значащих цифр; 3) при возведении в квадрат и куб, при извлечении квад ратного и кубического корня сохранять в результате не больше значащих цифр, чем имеет приближенное д а н н о е ; 4) в приближенных данных сохранять одним десятичным знаком (при действиях I ступени), одной значащей цифрой (при действиях II и III ступени) больше, чем желательно иметь в ре зультате; 5) избегать формул, содержащих разности б л и з к и х по величине чисел, заменяя эти формулы (путем преобразований) другими. Для функции y = f \х) имеются следующие формулы, в которых Дх — абсолютная погрешность, ох — относительная погрешность:

Ду » [ / » ( * ) ] • Дх ; 8у

6. Золотое сечение

1) Под з о л о т ы м с е ч е н и е м разумеется деление отрезка на две неравные части так, чтобы большая часть была средним пропорциональным между всем отрезком и меньшей частью. 1 Более подробно о приближенных вычислениях в специальных руководствах, напр. Б р а д и с , Теория и практика вычислений, Б е з и к о в и ч , Приближенные вычисления.

2 Зак. 1039.

Лист 1.

Золотое сечение

Пользуясь обозначением чертежа (лист 1, рис. 4-г), имеем: а-\- b а . b а = -Г или 1 — - г . a b 1 a b Обозначив отношение ~ через Ф, получим уравнение: ( 1 ) или Ф 2 — Ф — 1 = 0 ; положительный корень этого уравнения дает искомое отношение:

ф = і ± _ £ і ~ 1 , 618034 г и 1,618.

Обратное отношение

=

— = У 5

^ 0 , 6 1 8 .

Обозначив весь отрезок буквой с, имеем: я = — j j . Из этого равенства вытекают построения, данные на чертежах (лист 1, рис. 4-г и 4 - я ) . Если в процессе работы есть надобность в делении м н о г и х отрезков в золотом отношении, то можно воспользоваться чер тежом (лист 1, рис. 4-е,). Из подобия треугольников следует, что каждый из отрезков, показанных пунктиром, разделяется в том же отношении, как основной отрезок, показанный сплош ной линией. Можно также пользоваться п р о п о р ц и о н а л ь - н ы м ц и р к у л е м . 2) Из основного уравнения (1) получаем почленным-умножением на Ф : / -(- Ф = Ф 2 ; Ф - Ь Ф 2 = Ф 3 ; Ф 2 - [ -Ф 3 = Ф*; фге—2 ф« - 1 — ф ^ т. е. в последовательности чисел / , Ф, Ф 2 , Ф 3 , Ф", (2) являющейся геометрической прогрессией со знаменателем Ф, каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух преды дущих. Из того же уравнения (1) получаем почленным делением на Ф: - L - l - L ^ / - L - l J . — _L J _ l _ L _ J L ф2 Г ф ' ' ф З Т ф ! ф > фі Г фЗ ф2 > 2*

20

или Ф - 2 - | ~ ф _ 1 = 1, Ф - 3 + Ф - 2 = = Ф - 1 ,

Ф - ^ - f ф - 8 = Ф- 2 , . . .

. . . ф " - 2 -J- ф« - 1 = ф»», так что последовательность (2) можно продолжать влево: , Ф~ 3 , Ф- 2 , Ф- 1 , / , Ф, Ф 2 , Ф \ . . . . (3) Положим, что С есть золотое сечение отрезка AB, приня того за единицу (лист 1, рис. 4-г). Отложив на продолжении AB отрезок BD — АС = , получим новый отрезок, для кото рого В есть золотое сечение; отложив далее DE — AB — 1, найдем, что D есть сечение отрезка АЕ. Аналогично, отложив на первоначальном отрезке AB (лист 1, рис. 4-ж) отрезок AD = СВ — -^р-, найдем, что D есть золотое сечение отрезка АС и т. д. Таким образом можно получить ряд отрезков, находя щихся в золотом отношении; длины их выражаются числами последовательности (3) . Золотое сечение является е д и н с т в е н н ы м делением отрезка на неравные части, сохраняющим между частями то же отноше ние, что целого к части. Иначе говоря, при „росте" отрезка по закону золотого сечения сохраняется „подобие" размеров. Быть может, в этом причина того благоприятного зрительного впечатления, которое производят сооружения и предметы, раз меры которых подчинены золотому сечению. Обмеры памятни ков искусства обнаружили, что величины их, в целом и в де талях, во многих случаях взяты по золотому сечению. Цейзинг, искусствовед XIX века, установил на основании обмеров мно гих человеческих тел и античных статуй наличие в них золотого сечения Пропорциональное деление может быть применено не только к линейным размерам, но и к площадям и объемам 2 .

1 Ги к а , Эстетика пропорций в природе и искусстве, М., 1935 г. Ю. Ф. В., Золотое сечение как основной морфологический закон в природе и искусстве, М„ 1876 г. 2 Г. Д. Г р имм , Пропорциональность в архитектуре, М., 1935 г

21

Золотое сечениё

Таблица !

Приближенные значения чисел, производных от Ф

\

71

і

3

6

2

5

1

Ф

ф'і 1 фге

11,090 0,090 3,330 0,300

6,854 0,146 2,618 0,382

4,236 9,236 2,058 0,486

17,944 0,056 4,236 0,236

1,618 0,618 1,272 0,786

2,618 0,382 1,618. 0,618

Уфй

V фп

3) Имеются и другие соотношения, производные от золотого сечения. Пусть С—з о л о т о е сечение отрезка AB (лист 1, рис. 4 -ж) \ отложив AD ~ ВС и разделив DC в золотом отноше нии точкой Е, получим:

1

СВ = _1_ ф2

DC=l-

— ~ Ф Ф'

АС =

1

1

J _ . ф5 '

ф ' фз

ф4 ' ЕС — ф - ф 4

DE

l + ' - p + ' f 5

1 + < р З

EB =

EC+CB=-jz

фЗ

<ф5

фб

фЗ _L фЗ

О

= , . ^

О 472

ф5 ф і — АЕ — 1 — 0,472 = 0 , 528 . Таким образом, отрезок AB, равный единице, разделен на две неравные части так, что: АЕ= 0 , 528 ; ЕС= 0 , 472 . Такое деление отрезка известно в архитектуре под именем „функции Жолтовского" (но, конечно, не является функцией в математическом смысле слова). Имеется также так называемая „вторая производная" золо того сечения, дающая деление отрезка на части 0,507 и 0 , 4934 1 Архитектура СССР, 1935, № 3, статья А. Бурова.

Математика*

22

4) Золотое сечение встречается в некоторых геометриче ских фигур ix. На чертеже (лист 1, рис. 4-д) дтн равнобед ренный треугольник ABC с углом при вершине 36°. Пусть AD биссектриса 1_А\ тогда AC-AD-—BD. По свойству биссек трисы имеем: AB :АС= BD : DC или ВС : BD = BD : DC, т. е. D — золотое сечение стороны ВС. В таком случае также АВ-.АС—Ф, т. е. боковая сторона и основание находятся в золотом отношении. Если продолжить сторону АС и взять СЕ=СВ, то обра - зуем новый равнобедренный треугольник АЕВ с углом при вер шине 36 , т. е. с тем же отношением сторон. Таким образом имеем „рост" треугольника, сохраняющий „подобие" размеров. На чертеже (лист 1, рис. 4-е) дан звездчатый пятиугольник; АС —одна из его сторон; DC —сторона выпуклого пятиуголь ника. Пользуясь свойством равнобедренного треугольника с углом при вершине 36°, имеем: AC \ DC ^ Ф и АК:НК—Ф- Так как DC = DL — AL, то AC:AL= Ф; так как НК~ KL, то AK'-KL — Ф. Значит L есть золотое сечение стороны АС, а К —отрезка AL. Приняв за единицу АС, имеем отрезки, длины которых производны от Ф: В правильных десятиугольниках, выпуклом и звездчатом, также имеются отношения золотого сечения. Если а , 0 — сторона первого из них, а Ь 1 0 —в торо г о , R — радиус круга, то имеем: ß i o = J . 0 іо = Я - Ф . При взаимном пересечении сторон звездчатого десятиуголь ника образуется ряд отрезков, разделенных в золотом отноше нии; их длины ф , (I Jt , ф 3 ' фі • Пятиугольные Формы — выпуклая и звездчатая — распростра нены в органической природе, среди растений и морских орга низмов. 5і Золотое сечение имеется также в логарифмической спирали. Уравнение этой кривой в полярных координатах таково: р — а'?, где а — заданное положите' іьное число, отличное ог единицы. Из уравн ния видно, что если значения Ф образуют арифме тическую прогрессию, например, если искать точки спирали, АС — 1 ; AL — DC — ^ ; НК-=-~.

23

Золотое сечениё

лежащие на двух взаимно перпендикулярных прямых, т. е. за даться для Ф значениями 0, g- , it, , . . . , то значения р образуют геометрическую прогрессию; если вычислить первые два члена 1С р == а" = 1 и р = а2", то по найденным двум точкам следую щие найдутся построением по правилу среднего пропорциональ ного (лист 4, рис. 4); 0 5 , есть среднее пропорциональное между 0/1, и ОС, ; ОС, между 0 5 , и ОД , и т. д. Построение можно продолжить „внутрь" и получить асимптотическое при ближение к полюсу. Пусть Я", и Я 3 две точки, лежащие на одном луче на двух смежных витках спирали: для них имеем: р , ==а т 1 и p g ^ a T g , отсюда: р 2 : р, = а?» - ?' = а і к , — расстояния этих точек находятся в п о с т о я н н о м для данной спирали отношении. По свойству геометрической прогрессии р а з н о с т и между последователь ными членами (в данном случае расстояния между витками) об разуют, в свою очередь, геометрическую прогрессию с тем же знаменателем, т. е. и расстояния между витками находятся в том же постоянном отношении. Варьируя параметром а, можно получить спираль, в кото рой расстояния между витками будут расти в любом отноше нии, например, вдвое при каждом обороте на 360°. Если взять а так, чтобы а 2,с — Ф, т. е. а = 1,08, то на любом луче логарифмической спирали образуются отрезки, подчиненные закону золотого сечения. Такая спираль дана на чертеже (лист 4, рис. 4). В живой природе встречаются организмы, а именно некото рые морские моллюски, раковины которых очерчены по лога рифмической спирали с „модулем" Ф, а также с другими мо дулями, производными от Ф 1 . 6) На чертеже (лист 1, рис. 4-и) дан прямоугольник с от ношением сторон Ф. Некоторые исследователи 2 считают такой прямоугольник „динамическим". На основании изучения многих образцов классического ис кусства, в частности греческих ваз, выведено заключение, что именно динамические прямоугольники использованы для вписа ния в них различных форм.

1 Г и к а , Эстетика пропорции в природе и искусстве, М., 1935 г. г Х э м б и д ж , Динамическая симметрия, М„ 1936 г.

Математика*

24

Такой прямоугольник можно заставить „расти" с сохране нием „подобия" размеров: если на его большей стороне по строить квадрат (лист 1, рис. 4-м), то новый прямоугольник BCEF также имеет отношение сторон, равное Ф. Продолжая построение, как указано на чертеже (лист 1, рис. 4- з ) , полу чаем „рост" прямоугольника по золотому сечению. Вершины, отмеченные на чертеже, располагаются на логарифмической спирали. Быть может, отношения золотого сечения в живых организ мах вытекают из роста их с сохранением „подобия" размеров. 7) Как указано ранее, геометрическая прогрессия 1, ф , фЗ, фЗ, обладает тем свойством, что каждый член ее, начиная с тре тьего, равен сумме двух предыдущих. Таким же свойством об ладает последовательность Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 (4) Отношения последовательных членов ее 2 J 5 8 J 3 21 1 ' 2 ' 3 ' 5 ' 8 ' 13 ' J стремятся к числу Ф, причем из каждых двух смежных отноше ний одно больше Ф, другое меньше Ф; а так как абсолютная неличина разности между ними равна единице, деленной на произведение их знаменателей, то легко найти погрешность приближения. Например, 55 ъ Ю_ 89 55 _ 1 1 34 55 ' 3 Т З К К З К 55 ~~ 34 ~~ 55-34 ' 7 0 55 1 с точностью до - . Последовательность ( 5 ) схо дится к числу Ф весьма быстро; так, 1,615; 1,619. Интересно отметить, что л ю б а я последовательность, ка - ковы бы ни были первые два члена ее, удовлетворяющая со отношению U n = U n - 1 - f - U n -2, обладает тем же свойством, что и последовательность Фибоначчи, т. е. имеет пределом от ношения • } J n число Ф. Геометрическое толкование этого факта Un— 1 таково: если выполнить построение, данное на чертеже (лист

25

Некоторые постоянные

1, рис . 4-з) , начав с прямоугольника с л ю б ы м отношением сторон, то получаемые новые прямоугольники стремятся стать прямоугольниками с „модулем" Ф. Однако наилучшее прибли жение к числу Ф дает именно последовательность Фибоначчи. Обмеры памятников искусства, предметов и сооружений, классических статуй, живых организмов (людей и животных), наконец, растений и их плодов обнаружили соотношения, вы ражаемые числами последовательности Фибоначчи 1 . Всякое действительное число может быть представлено в форме десятичной дроби : р а ц и о н а л ь н о е — конечной или периодической бесконечной, иррациональное — бесконечной дро бью. Всегда можно образовать последовательность рациональ ных чисел (в частности, десятичных дробей) , сходящуюся к рас сматриваемому числу. В иных случаях число задается как сумма сходящегося числового ряда; для приложений удобны ряды, сходящиеся быстро. Ряды для некоторых замечательных чисел: '/. некоторые постоянные

«=» 1 + l f + 5 Г + Ж + • • • - Ь ^ г + '

г д е " ! = = 1 • 2 , 3 - - - п

те==2/3

. ( і — у - j + j . 1 — І . І + І . І —

. . . )

1 I 1

__ . , J

І_4_ J . 1 . 2 ~ r 2 • 3

J 1 _ M 3 I 13 .21 !

3 • 5

5 • 8

Если принять число e равным сумме к членов ряда, то имеем погрешность меньшую ; в рядах для те и ф погреш ность (по свойству знакочередующихся рядов) менее абсолют ной величины первого отброшенного члена.

1 Ю. Ф. В., Золотое сечение как основной морфологический закон в природе и исскусстве, М„ 1876 г.

26

Математика*

Т а б л и ц а 2

Некоторые постоянные

я . . .

3,14159 9,86960 0,31831

е е 2 ез

2,71828 7,38906

я»

А .

20,08554

я у Т

А

0,36788

1,77245

е А- .

0,13534

lgio*

0,49715

е ъ Y 7 !g I0 e

Ф (число золотого сече ния)

1,61803 2,61808

1,64872 0,43429

Ф 2

In Ю(модуль перехода от десятичных логарифмов к натуральным) . . . . g (для средних широт и высот)

2,30259

А*

0,61803

ф

. 9,80606

lgi

0,99167

Б. ФУНКЦИИ 8. Целая рациональная функция Под этим названием разумеется функция Ах п - f - Вх п ~ х + Ос » - 2 4 -

4 - Кх 4 - L,

где п — натуральное число, А, В, С К , L — действитель ные числа. Вычисление этой функции сводится к простейшим операциям: сложению и умножению. Функция эта существует и непрерывна при любом значении аргумента. Частным случаем целой рациональной функции является ли нейная функция y = kx-\-b, обладающая тем свойством, что приращения функции пропорциональны приращениям аргумента. Графиком ее служит прямая линия. Линейная функция выра жает равномерные процессы. 9. Показательная функция Функция а х , где а > о и аф 1, называется п о к а з а т е л ь - н о й . Она существует и непрерывна при любом значении х; принимая только положительные значения. Основание а всегда можно привести к числу е, подобрав k так, чтобы а = е к , тогда а х переходит в е 1<х . 1 Более подробные данные о числах, производных от Ф, см. табл. 1,

27

Тригонометрические

функции

Показательной функцией с основанием е выражается закон непрерывного роста. Функция эта имеет обширные приложения. График функций у = е х и у — е~ х (лист 2, рис. 8). 10. Логарифмическая функция Функция, обратная показательной, называется л о г а р и ф - м и ч е с к о й ; у = l g 0 x , если аУ = х. Логарифмическая функция существует и непрерывна при л г > о и имеет следующие свойства: 1) при основании, большем единицы, большему числу соответствует больший логарифм; 2 ) при основании, большем единицы, логарифмы чисел, больших единицы, положительны; логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательны; 3) логаоифм единицы равен нулю при всяком основании; 4) логарифм основания равен единице; 5) при основании, большем единицы, если число стремится /fe-j-оо, то его логарифм стремится а если число стремится ko, то его логарифм стремится k — оо; 6) lg {ab) = lg а 4 - lgb; \g^ = \ga — \gb-, = 4 r ' g a - Для вычислительной работы удобны д е с я т и ч н ы е логарифмы; при изучении же различных явлений встречаются (наряду с пока зательной функцией е кх ) н а т у р а л ь н ы е логарифмы, обозна чаемые символом Іпх. Переход от одних логарифмов к другим производится по формуле lg b x = Mlg a x, где M —модуль пере хода, вычисляемый по формуле : М= = \g b a. В частности, имеем формулы перехода от десятичных лога рифмов к натуральным І п . ѵ ^ 2 , 303 lg 10 .x и от натуральных логарифмов к десятичным 0 , 434 In л:. Десятичные лога рифмы см. табл. 17. График функции у = In х (лист 2, рис. 9) . 11. Тригонометрические функции Тригонометрические величины определяются как отношения некоторых, вполне определенных отрезков, проводимых в круге , к радиусу этого круга; отношениям этим присваивается опреде ленный знак. На листе 1, рис. 1 показаны отрезки, а в при водимой таблице дано распределение знаков для углов, конец дуги которых расположен в каждом из четырех квадрантов. l g ( e " ) = i 1 g e ;

Математика*

28

Таблица 3

Распределение знаков для тригонометрических величин

; II

1

II

IV

Примечание

OD

Sin a = CD В t g a = AF

+

+ + + + + +

Sin a Cos a Ig a Ctg a Sec a

cos a =

R ' BE ,

+

—

+ +

Ctg a = R ;

R

— •

cosec a = OE

Sec a = OF. R

+

R '

+

Cosec a

—

—

Таким образом, имеем вполне определенные тригонометри ческие величины для любого угла — о э < а < с о , кроме углов, граничных между квадрантами, для которых некоторые из три гонометрических величин не существуют: t g a и S e c a не суще ствуют для углов y ( 2 « - f / ) , а ctg a и c o s e c a—д л я углов тсп, где п — целое число. Рассматривая углы, стремящиеся к гра ничным, устанавливаем характер несуществования; например, если а - ^ - у , то t g a - > - j - c a при а < у и — 0 0 при . и й 2" ' Тригонометрические величины любого угла не независимы между собой; между ними имеется пять соотношений: Sin 2 a - f - Cos 2 a = 1 ; t g a COS a sin a ' из. них выводятся дополнительные соотношения: t g a - c t g a = l ; tg 2 a -f- 1 = Sec 2 a ; ctg 2 a -ф- 1 = cosec 2 a . Тригонометрические величины всякого угла можно приве сти к величинам п о л о ж и т е л ь н о г о о с т р о г о угла на основании формул приведения, данных в табл. 4: Sec a : 1 " sm a cos a cosec a = ctg a : 1 COS a sin a

X

0

ФУНКЦИЯ

У =е~2"

@ ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ АРКА

ѵ |

у = ^ х ( 1 - х )

0 эллипс №

© ГИПЕРБОЛА Построение

@ РАВНОБОЧНАЯ ГИПЕРБОЛА

© ПАРАБОЛА ©КУБИЧЕСКАЯ ©ПОКАЗАТЕЛЬ -

©ЛОГАРИФМИКА

..о

ft ft

ПАРАБОЛА

НЫЕ КРИВЫЕ

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

( 1 )

Лист 2.

30

Матсмагпикй

Т а б л и ц а 4

Формулы приведения

Три г ономе т рич е с ки е величины

361»—а

3 5 0 » - f a

— а

180» - f a

1 8 0 ° - а

sin a COS a t g a Ct g a

— Sin a COS a — t g a - C t g a

— sin a — COS a t g a ctg a

— sin a COS a — tg a — ctg a

Синус Косинус Котангенс

sin а — COS a — t g a — Ct g a

При различных преобразованиях применяются также фор - мулы приведения, данные в табл. 5. Т а б л и ц а 5 Приведение тригонометрических величии

9 0 ' - «

l u » - f a

27 J° - а

Три г ономе т рич е с кие величины

2 7 0 » - f a

COS a Sin a Ctg a t g a

— cos a — sin a Ctg a t g a

— COS a Sin a — Ctg a — t ga

cos a — sin a —Ctg a — t g a

Косинус Котангенс

Формулы сложения, вычитания, умножения и деления: sin (а ± ß) = si n а • cos (3 d= cos а • sin ß; cos (a r h ß) = cos а • cos ß qz sin а • sin ß; ІШ- tga. tgB ' sin 2a = 2 sin а • cos a ; cos 2a = c o s 2 а — sin 2 а ; 2 tg а . „ а 1 — cos а 0 а ^ P ;

14- cos а

s l n 2 T =

;

c o s 2 2 = ^ 2

;

=

2

t g 2 "

a + ß

с • о

г. -

а — В

sin a - f - sin ß = 2 sin - y - * - c o s

g

;

• л а + Ê sin а — sin 3 = 2 sin •—jr-t- • cos —— „ . а — В

©

СПОСОБ НЬЮТОНА

5) случай рас:

а) случай сходимости

©

ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ И ТРАПЕЦИЯ

степени

2)

г

„

/ г т

„

, . „а 2-І

5)

6)

©

КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЙ

ЗАМКНУТАЯ ФИГУРА

© ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ ОРНАМЕНТАЛЬНОГО ХАРАКТЕРА а) 8- лепестковый венчик 5) 5- лепестковый

в) килевидная аркатура

орнамент

ѵ

Г Р АФИ К И

ФУНКЦИЙ

( 2 )

Лист

3.

32

Математика*

а - В cos а 4 - cos ß = 2 cos —тр- • cos —^

а 4

. а —3 Sin —т^—

cos а — cos 3 = — 2 sin

За единицу измерения углов принимается, кроме угла в 1°, также угол, длина дуги которого равна радиусу; угол этот на зывается радианом. Величина угла в радианах равна отношению длины дуги к радиусу: х — -4- . Переход от градусного изме рения к радианному и обратно производится по формуле:

Х ~ 183° >ТГ

Т а б л и ц а 6

Переход от градусов к радианам

Радианы

Градусы

Радианы

Градусы

тс ~Т

тс

90°

= 1,57080

0,01745

1°

тс 1 Г = 0,52360

Зтс 4

= 2,35620

135°

30°

тс 4

= 0,78540

180° 270'

тс = 3,14159 ™ = 4,71239

45° 57° 17' 45"

1,00000

тс

360°

= 1,04720

2« = 6.28318

60°

т

Равенство у = sin х устанавливает зависимость между х и у . Отвлекшись от понятия угла, рассматривая х к а к ч и с л о , имеем соответствие между численными значениями х и у, т. е. функцию от Л:, у = sin х . Аналогично имеем остальные пять функций. Графики sin л:, c o s x , i g x , c t g x даны на листе 4, рис. 1 и 2.

3

Зак. 1029.

34

Математика*

Т а б л и ц а 7

Изменение тригонометрических функций с изменением угла от 0 до 271

*

*

Тригономе трические

2*

0

2

2

величины

0

1

sin а

0 0

— 1 . . 0 r t CO rf. с о — 1 0

0 1 о — с о 1 — о о

0

— 1 . . Г(Г с о — 1 r t с о

r t CO r t с о 1 . . . . 0

Ig а ctg а sec а

0

ф со ф с о 1

cosec а

Т а б л и ц а S Значение тригонометрических функций для некоторых углон

Тригономе трические величины

60"

45"

30°

1

1 / 3

У2

s i n а . . .

. • . . .

2

2

2

cos a

1

У з

У 2

2

2

2

УЗ 3

1

t g a

•

уз

ctg a Уз 3 Тригонометрические функции см. табл. 14 и 15. 12. Обратные тригонометрические функции 1/3 1

Так как тригонометрические функции п е р и о д и ч н ы , то обратные им функции м н о г о з н а ч н ы . Но , если выбрать для тригонометрической функции интервал непрерывности и монотон ности, то можно образовать вполне определенную обратную функцию: у — arc sill х; — - 1 < х < 1 ; - - | - < Т < 2 — 1 < х < 1 ; 0 < у < і г у = ars cos х ; у на. arc t g x ; — ^ - ^ л ^ о с , — V = arc ctg х ; — о о < х < о о ; 0 < у < к , . я я о о < х < о о ; - х - <У< 7 )

Производная и интеграл

35

13. Производная и интеграл При исследовании функциональной зависимости возникает ряд задач, приводящих к функции, образуемой из данной функ ции путем некоторых, вполне определенных операций. Эта функ ция, называемая п р о и з в о д н о й от данной функции, опреде ляется равенством: У = Н т - ^ - (если ЭТОТ предел существует). вх и Производная может быть истолкована, как угловой коэфициеит касательной к графику функции в рассматриваемой точке. Другие задачи приводят к отысканию такой функции, про изводная которой равна данной функции; такая функция назы вается п е р в о о б р а з н о й . Если функция имеет одну первооб разную, то она их имеет бесчисленное множество, причем одна от другой отличается произвольным постоянным слагаемым. Общий вид первообразной функции есть н е о п р е д е л е н н ы й , интеграл: / / ( * ) dx — F (л:) - j - с, если F' (je) = /(лс). Произвольная постоянная подбирается из начального условия, налагаемого на искомую функцию. О п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л является пределом суммы некоторого, вполне определенного вида и связан с неопреде ленным формулой Н ь ю т о н а - Л е й б н и ц а : ь jjf{x)dx = F{b)-F(a), о где f ( x ) — одна из первообразных функций. 14. Таблица производных В приводимых на таблице формулах и, v,w —функции от х, с—постоянное. I Т а б л и ц а 9

Функция

Функция

Прои з водна я

Производная

с X ЦП

COS и • It ' — sin и • и' sec 2 и • и'

sill и COS и tg и Ctg и sec и

0

1 я к « - 1 • и' и' 2 Уй

— cose с 2 и • и' sec и • ig и • и'

уи

3*

36

MameMâmttKà

Продолжение

Функция

Производная

Функция

Производная

-cosec « • clg и • и'

ctg «

п п У И " - 1 а и - Ina - «'

У "

arc sin и

а и

У 1 — « 5 и' У1 — м 2 и' 1 + « 2 и.' 1 + « 2

arc cos u

е и

arc tg и

' g o "

arclctg « и + V 4 w

In«

и' + »' +

uv cu uvw и V

ИГ»' 4 vu' си' u'vw -j- v'uw + + w'uv vu' — uv' V

Таблица 10

15. Таблица

интегралов ftgxdx =

X n dX • dx X I J Jа*Лс = ^ 4 - с , а>0, хп+ 1 у + с > I ІПЛГ-f с а®

—In COS x - j - c J c t g X dx = In sin x-\- с J sin 2 xdx = y X — E sin 2 к-j^c J 1 J cos 2 X dx = "2 .*-}- "4 sin 2 -*H~ c

пф—:

аф\

Je x dx = е х -\--с fe mx dx = А е тх -j- с J i n xdx — X (In .V — 1) -{-с J s i n X dx — — cos -V 4 - c

Линейные уравнения

37

Г

1

Г

dx

X

s\nmx dx = — - cos mx -J- с

= arc sin - 4 - с

1

X 3

a

J

m

J y a-

— 1 i

a + x \

( co s -V dx — smx-\-c

f . . J*£

n

r

J

2 a

a —

1

— x 2

J

f c o s mxdx

= — sin mx -h с

f

1

J

m

J Yd Ѵ ^ + ^

= l n (л: - j - ]/a 2 -f- x 2 ) -}- с

J sec*xdx = tgx-\-c

f \ / a 2 — x 2 dx

^cosec 2 xdx—

—c t g л: —J- с

=

1

X

4 - -fr a 2 arc sin

V-с

1 2

я 1

JV л 2 - f - X 2 dx =

=

2

in (Х + ^ У ^ ) + с

В. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 16. Линейные уравнения Уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид: ах — Ь, где а и b — заданные числа. Если афО, то уравнение имеет определенный корень х — если а = 0 и Ь ф й , то уравнение не имеет корней; если а — О, b = 0, уравнение имеет бесчисленное множество корней. Система из двух уравнений с двумя неизвестными первой степени: а^хф-Ь^у = с х \ а 2 х -\-Ь 2 у в с ч Если у ф у- ) система имеет два определенных корня ; если я, Ьл , с» я, Ьл Ci — — ~ ф ~ , система несовместна; е с л и— = ф- = -±- СИ аз Tî а 2 bi Ci сгема имеет бесчисленное множество корней (одно уравнение следствие другого) . Система из трех уравнений с тремя неизвестными может быть приведена путем исключения одного из неизвестных к системе двух уравнений с двумя неизвестными. Подобный

Математика*

38

прием понижения числа уравнений можно применить к любой системе линейных уравнений; но с возрастанием числа уравне ний быстро возрастают вычислительные трудности, и ста новится малонадежным получение правильного ответа. Поэтому в технических приложениях (напр. , при расчете рамных систем в строительной механике) пользуются приближенными методами решений (напр. , сокращенным алгоритмом Гаусса) 17. Ура внения к в а д р а т ны е и б и к в а д р а т ны е Уравнение второй степеии с одним неизвестным может быть приведено к виду х 2 - f - рх -}- q = 0. Корни его вычисляются по формуле Свойства корней: x L -\~х 2 — — р; х х • х а = q. Более общий вид квадратного уравнения таков: ах я -\-Ьх —| с = 0, где а, Ь, с —данные числа и афО. Корни вычисляются по формуле _ — b±.yW— 4дс * 2а ' Если № — Аас > 0 . . .корни действительные и различные; если Ь я —4 ас — 0 . . . к о р н и действительные и равные; если Ь я — 4ас < 0 . . . корни комплексные. Биквадратное уравнение az 4 - f - Аг 2 -f- с — 0 приводится к квад ратному подстановкой z g —x. Найдя х 1 и х а , определяют z по формуле z — - h у X • 18. Графическое решение уравнений Пусть уравнение имеет в и д / ( х ) = 0, где / ( х ) —н е пр е - рывна в окрестности искомых корней (если f i x ) — многочлен, то условие непрерывности выполняется при всяком значении х) . Построим график функции у — f i x ) , — абсциссы точек пересече ния графика с осью х , измеренные в масштабе чертежа, дадут приближенные корни уравнения. В окрестности этих точек сле дует построить кривую с помощью дополнительных точек. 1 О способе Гаусса см. И. М. Рабинович „Курс строительной механики стержневых систем", т. И, а также в этом справочнике см. раздел „Статика сооружений".

Способ Ньютона

39

19. Способ Ньютона Положим, что каким-либо способом (напр. графически) най дено приближенное значение х х корня уравнения / (л:) = 0. Тогда следующие приближения найдутся по формулам: fixО _ f(xi) х 3 . . . , сходящуюся (во многих случаях) к искомому корню. Получив два элемента последовательности, достаточно близкие друг к другу, считаем любой из них приближенным значением корня . Процесс наверно сходится, если кривая обращена выпуклостью к оси X, т . е. если f (х) и f i x ) имеют одинаковые знаки (лист 3, рис. 1). f i x ) Пользуясь формулой х п , 1 — х п — f f . > можно каждый раз J (Лп' округлять найденные числа, так как можно исходить из любого числа, близкого к искомому. Пример : Л: 8 — х 2 — 2х -(-1=0. Сначала отделяем корни путем попыток, подставляя в левую часть числа —2 , — 1, 0, 1, 2 . . . и определяя знаки функции X - 2 » 1 2 + Видим, что корми уравнения находятся между —2 и —1 ; 0 и 1;1 и 2. Найдем корень, который находится между 1 и 2 : /' (х) = Зл: 2 — 2л: — 2 ; Г (х) = блг — 2; Г О ) > 0 ; f ( 2 ) > 0 . Так как / ( 1 ) < 0 и / ( 2 ) > 0 , то в качестве первого приближения выбираем х 1 — 2, при котором f ( х ) и f (лт) имеют одинаковые знаки: х 2 — 2— = 2— ^ ä j 1,83. Для нахождения х 3 округляем х 2 , взяв его равным 1 , 80 ; Л з — ^ 0 / ' ( 1 , 8 ) 4,12 —' ' Если бы оставить лд = 1,83, то получили бы для снова 1,80. Таким образом, получаем последовательность чисел x L , З н а к f { x ) — + + . —

Математика *

40

Г. ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 20. Зависимость между элементами геометрических фигур Прямоугольный треугольник (лист 5, рис. 1-е): а = с sin А = с cos В; а — b tg А = b ctg S ; a 2 - f £ 2 = c 2 ; a 2 = cm; ô 2 = cn; A 2 = m« ; R — L . q - M - ç A — 2 . /• — 2 Произвольный треугольник (лист 5, рис. l-tf): я Ь с i2 R-, a 2 ==/; 2 -fc 2 — 2bc-cosA; sin Л sin В sin С д I ß й + _ +g"2—. , л Г(р — Ь) (р — с) а — b I g A-B ' * 2 г р(р — а) » а + b А- с , ч , Л где / 7 = — і - ^ — ; (р — a ) - | - g - y . Четырехугольник, вписанный в круг Сумма противоположных углов равна двум прямым. Четырехугольник, описанный около круга Суммы противоположных сторон равны между собой. Правильные многоугольники 180° а„ — 2R- s i n — ~ , где R — радиус описанного круга, п — число сторон. В частности, —R Y 3 " , а 4 = / ?У" 2 , R а _ 10 —2 У У • — сторона звездчатого пяти 6 2 ' угольника, — а .Ф „ 7? , п _ Ä . р І 0 — сторона звездчатого десяти- «ю 2 ^ ' ' Ф ' угольника, й 10 = /? • Ф, где Ф — число золотого отно шения. Круг . Произведение секущей на се внешнюю часть равно квадрату касательной, проведенной из той же точки. Центры тяжести плоских фигур Для некоторых фигур положение центра тяжести дано на чертеже (лист 5, рис. 2) .

ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ

ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ ПЛОСКИХ ФИГУР

а) треугольник

б) трапеция

в) квадратная парабола

г)

кубическая парабола

д) полукруг

е) четверть эллипса в

ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ПЛОСКИХ ФИГУР Лист б.

Государс твem о р д о и а Ленина ИБМТЕКА СССР

Математика*

42

Ol О

ю <£>

It

Ou

1 cî и

«

«

и

N Я

СЧ

Ol H о

К

Т-Ч «ч « 11 " N If.

1) II b

и

со ч

ч е -ч» I

Ч

s

ІІ

+ + 1 н\Ъ

X

1)

II II

b

Е о Си нX

я X

к яга Xси

чя . о . \ Qo . • гс» • £ 14 s я « о 3Er s о g О § X

beu l -ce X X S ««S gS-

я Xси я« я G«и В" s оч ю я си я С

я ч о *о

яо . я И« я X ия ET s

я Xs • в Sе си яи о

>•§ S 0) « 3 ä S я « ET

»X ч ин я яя X о

-

я 4о

\o я С

sч

Оя M -

\о ЬЙ

о. я

ч СП

с

ч

И / И

Уравнения

кривых

43

>ç> ю

<3 lÔ aas .

s*.

tиa

ss tиa hs m

es