Справочник архитектора. Том I. Первый полутом

Математика*

22

4) Золотое сечение встречается в некоторых геометриче ских фигур ix. На чертеже (лист 1, рис. 4-д) дтн равнобед ренный треугольник ABC с углом при вершине 36°. Пусть AD биссектриса 1_А\ тогда AC-AD-—BD. По свойству биссек трисы имеем: AB :АС= BD : DC или ВС : BD = BD : DC, т. е. D — золотое сечение стороны ВС. В таком случае также АВ-.АС—Ф, т. е. боковая сторона и основание находятся в золотом отношении. Если продолжить сторону АС и взять СЕ=СВ, то обра - зуем новый равнобедренный треугольник АЕВ с углом при вер шине 36 , т. е. с тем же отношением сторон. Таким образом имеем „рост" треугольника, сохраняющий „подобие" размеров. На чертеже (лист 1, рис. 4-е) дан звездчатый пятиугольник; АС —одна из его сторон; DC —сторона выпуклого пятиуголь ника. Пользуясь свойством равнобедренного треугольника с углом при вершине 36°, имеем: AC \ DC ^ Ф и АК:НК—Ф- Так как DC = DL — AL, то AC:AL= Ф; так как НК~ KL, то AK'-KL — Ф. Значит L есть золотое сечение стороны АС, а К —отрезка AL. Приняв за единицу АС, имеем отрезки, длины которых производны от Ф: В правильных десятиугольниках, выпуклом и звездчатом, также имеются отношения золотого сечения. Если а , 0 — сторона первого из них, а Ь 1 0 —в торо г о , R — радиус круга, то имеем: ß i o = J . 0 іо = Я - Ф . При взаимном пересечении сторон звездчатого десятиуголь ника образуется ряд отрезков, разделенных в золотом отноше нии; их длины ф , (I Jt , ф 3 ' фі • Пятиугольные Формы — выпуклая и звездчатая — распростра нены в органической природе, среди растений и морских орга низмов. 5і Золотое сечение имеется также в логарифмической спирали. Уравнение этой кривой в полярных координатах таково: р — а'?, где а — заданное положите' іьное число, отличное ог единицы. Из уравн ния видно, что если значения Ф образуют арифме тическую прогрессию, например, если искать точки спирали, АС — 1 ; AL — DC — ^ ; НК-=-~.