Собрание важнейших оснований статики

СОБРАНІЕ

ВАЖН ИШИХЪ ОСНОВАНІИ

©^ІІ!ГШШ

С. ПЕТЕРБУРГЪ.

1840.

mm

У %

'D БР AHIE

y/f ^Л^СТАТИК И

для

УРАЗУМЬНШ РАЗНЫХЪ ОТРАСЛЕИ

ГРАЖДАНСКОИ АРХИТЕКТУРЫ,

сосхавленное

Архітекторомъ К- Цшлеромъ.

ПЕРЕВОДЪ СЪ Н МЕЦКАГО.

Cs 55 литографированнъгм , (ригурами.

С. ПЕТЕРБУРГЪ.

Bij ТипограФІи Гдавнаго Улравіенія пушей сообщенія и пубдичныхъ зданій. 1840.

. ПЕЧАТАТЬ позволяется: съ т мъ, чпюбы, по ошпечашаніи, нредсгааЕдено быдо въ Ценсурный Коыигаепіъ узаконенное чисдо экзеыпляроБЪ. С. Пешербургг., Генюря 29 дня 1840 года. Ценсоръ П. Корсаковъ.

При многокрагано исполненныхъ мною, довольно важныхъ, поспгрой кахъ, предприняшыхъ Правишель сшвомъ, часшо случалось мн , сосшав ляя пояснигаедьныя запискж, издагагаь гаеорію разныхъ отрасіей Граждан ской Архишекшуры. Въ-посл дсшвіи, собралъ я приве денныя мною шеоремы Сташики, объ яснивъ ихъ, по возможносгаи, безъ доводовъ, основанныхъ на Алгебр й высшей Магаематик , и приложивъ пояснишельные чершелш. Издаю сей слабый гарудъ мой по ощренный н когаорыми почшенными знагаоками строительнаго искусгава, — въ надежд , чшо онъ, можешъ быгаь, 1

-- u — принесетъ хогая н когаорую подьзу молодымъ моимъ соошечественникамъ, посвящающимъ себя Архишекгаур . Они найдушъ зд сь руководство при ложенія элеменшовъ чисгаой Машема шики къ равнов сію твердых ъ га лъ,— руководсшво, когаорое обдегчитъ имъ изученіе разныхъ отраслей пракшиче ской Архигаекгауры, безъ пособія мно гихъ сочиненій на разныхъ языкахъ, пріобр гаеніе кошорыхъ сосшавляешъ немаловажныя издержки,и безъ потери времени на ошысканіе разбросанныхъ въ сихъ сочиненіяхъ законовъ Сша гаики. Соглашаясь съ большею часшію опышныхъ сшроишедей, я полагаю, чшо равнов сіе, сгаойкость, правиль носшь Формъ и пропорція разныхъ часгаеи зданій, можетъ бышь дознана шолько посредсшвомъ машематиче скихъ заключеній, соображаемыхъ съ опыгаами. По симъ уваженіямъ я не им лъ нам ренія написашь курсъ Статики и Механики въ полномъ ихъ объем ,

— ш — или сочиненіемъ своимъ сд лагаь, для молодыхъ людей, излишнимъ — мно жесшво полезныхъ машемашическихъ книгъ: напрошивъ, я старался пока загаь всю пользу оныхъ, многокрашно приводя основанія, кошорыя изъ нихъ почерпашь дсіжно. Просв щенныхъ чигаашедей по корно прошу съ сей гаолько гаочки зр нія обсуяіивать мой трудъ. Благо склонный пріемъ онаго, можегаъ быгаь, побудитъ меня къ изданіюгаеоріи Сво довъ, или другой какой-либо часши Архишектуры, въ вид продолженія сего собранія важн йшихъ основаній Сгаатики. Если изданіе эшого сочиненія при несетъ хогая малую пользу, гао ц ль моя будетъ досгаигнуша.

Согинителб.

1*

ВВЕДЕШЕ КЪ СТАТИК ,

или

ПОЯСНЕНЕІ ГЛАВН ЙШИХЪ ВЫРАЖЕНИІ И ПОНЯТІЙ.

51. Сгаашика есть отрасль Мехаішки. Сгаа гаика занимаешся равпов сіемъ силъ, д исшву ющихъ на твердыя т ла. Предначергаанная наі ш ц ль не лозволяетъ входигаь въ разсмо тр ніе вс хъ предмёгаовъ сей науки. 5 2. Механика можешъ быть разсмагариваеиа двояко: 1) въ шшюмъ ея объем , — это наука: о движеніи т лъ, о смахъ, посредствомъ коихъ ш ла одно на другое д йсшвуюгаъ — и о маши нахъ, когаорыя для -сего употребдены быть могушъ-, 2) въ га сномъ смысл — сія наука обсуживаетъ лишь одно движеніе гавердыхъ т дъ.

_ 2 ~

l) Оствтгл понлтіл o силть u Ъвиженіи. 5 3. Опытъ~ уб ждаетъ насъ въ необходимо сши д иствія силы, для того, чшобъ сдвинушь т ло съ занимаемаго имъ м ста, га. е. для лгри ведеиія его въ двил^еніе; опыгаъ-же уб ждаешъ насъ въ необходимосши вн шней сиды, дабы остановить двжжуіцееся т до. Сила сія, жли прямо очевядна, или зам тна только по д й сгавію. Каждое т ло находишся: ві покоп, пока не осгаавляеіпъ своего м сгаа; въ движеніи, во все шо время, въ кошорое оно перем няегаъ свое м сто. Какъ покой, такъ и движеніе отно сительны къ другимъ сопред льньшъ га ламъ, иаходящимся въ поко или въ движеніи: по вгаому сіи два состоянія называюшся ошно снтельньшъ покоемъ жли: движеніемъ, — въ прогаивуположность къ непосредственному по кою или движенію, которые не оганосяшся къ сопред льнымъ т дамъ, Для большей ясносши предсгаавимъ сл дую щій прлм ръ. Находясь на корабл и не пере м няя своего ді ста, можио проб гать н ко шорое пространства; сл довательно, въ одио и тоже время можно находшпься въ непосред сшвенномъ поко , и быгаь щакже въ непосред сгавенномъ движеніи.

— 3 —

Каждое т ло, приведенное въ движеніе, про ходишъ н кошорый путь, по прямой или по кривой .шніи; посему движеніе называется либо прлмолинейнъгліъ, либо криволгінейнъгм/і, Прямая линія движенія т ла ,называется его направленіел і ; а путь, имъ пройденный въ изв сгаиое время, опшапнымъ простран ствомъ, § 4. Однообразнымъ движеиіемъ называется гао, при коемъ ш ло, въ равные моменшы вре мени, оиисываетъ равные простраиства; ш. е. скоросгаь его движенія осгааегася неизм нною. Но когда ш до, въ равные моменты времени, описываетъ бол е или: мен е моменшовъ про сгараисгава, ч мъ сначала, гаогда сіе движеніе (или скоросгаь) называется изм няющжмся; въ первомъ случа ускореннымъ, въ посл днемъ замедлениымъ. § 5. Покой и движеніе т ла означаюгаъ его сосгаояніе; въ посл диемъ сосгаояніи подразу м вается какъ скоросшь, гаакъ и направле иіе ш ла. Матерія сама по себ им етъ наклонность осгаавагаься въ своемъ сосгаояніи, на своемъ м сга , пока не посл дуегаъ на нее вліяіііе вн шней силы; это называется безд йствіемъ. S 6. Т ло, приведеиное въ движеніе, само по себ , безъ вн шнлго вліянія, должно сохранить первоиачальное направдеиіе и скоросгаь свою,

— 4 —

пока другая какая-либо сила не под иствуегаъ на него; погаому-что для каждой перем ны въ состояніи т ла •— необходима причина, объ яснлющая таковую перем ну. Движеніе т ла, предоставлениое д йсшвію первоначальнаго вліянія, всегда будешъ едино образно и прямодинейно. 5 1- Сопротивленіеліъ называешся все габ, чгао вовсе жлж частью уничтожаегаъ д йсгавіе силы; гп. е. все, чшо прекращаетъ двнженіе вовсе, или только частью. Противод йствіемъ называютъ сопрогаивле ніе, оказываемое га ломъ, при д йсшвіи на него другаго; въ семъ оганошеніи оба т ла выра жаюгаъ противуположныя силы. . Когда- сила, д йствующая на ш ло, сопро-. іпивленіемъ онаго , прошивуд йсгавіемъ, или вообще какимъ-либо препягаствіемъ, уничгао жаешся*, то д йсшвіе сіе называегася Ъавленіемъ, а сама сила давлщею, для различія огаъ силы двигающей, когаорая-либо вовсе не всгарЬчаегаъ препятсгавш, либо преодол ваетъ оныя; ииые называютъ ихъ мертвою ж окивою силами. Во всякомъ случа , давленіе есть д йствіе силы, стремящейся къ движенію.

— 5 —

Щ Оснобныя понятіл о тджести

U вТЪСТЪ.

% 8. Опышъ научаетъ насъ, чгао каждое сво бодное ш до, возвышенное надъ землею, и вле комое притягашельной силой земнаго шара, съ увеличивающеюся скоросгаыо, стремится къ центру земдхг. Законы или наука паденіл т лъ, есть Динамика, коей мы здЬсь касашься не будемъ. Когда пов шенное на нити іп ло покойно, іпо направденіе оной къ горизонгау стоячей воды перпендикулярно. Сила, ироизводящая па деніе (и вышягиваніе ниши) называешся тлже с гію, или силою тяжести, коей направленіе всегда перпенднкулярно къ поверхносгаи сщоя чей воды. По законамъ Машемагаической ГеограФІн, земля признаегася шаромъ, а поверхносшь сшоя чей воды, или каждоіі огранжчеиной горизои талыюй площади не есгаь равнина, но часть поверхиости шара; а пошому линія наіграв денія свободно падающаго т ла, сосгаавляешъ прямую съ радіусомъ земли, проведеннымъ къ іпой точк поверхносши:, на когаорую іп ло должно-бы пасть; илл-же лродоля енная линія направленія, по кошорой іп ло должно падать, должиа проиігаі сквозь центръ земнаго шара.

— 6 —

Такимъ образомъ гайжесть есгаь свойсгаво т дъ, В іекущее ихъ къ средошочію земли. § 9. Когда ш ло вм сто шого, чгаобы ви с гаь на нигаи, поддерживаешся другимъ ш - домъ, то первое производитъ даеленіе на по сл днее; сіе давленіе ш мъ сильи е, ч иъ бод е масса верхняго ш ла. Сумма давленія вс хъ часшеи шяжести ш ла называешся его в сомъ. Изъ сравнеиія в са массы протжвъ ея объема, получаемъ мы понятіе о тяжесгаи, или огаиосжгаельиомъ (уд дьномъ) в с массьі. Въ т лахъ равной массы в съ со отв тсгавуеіпъ пропорціи кубическаго содер жанія и легко можетъ бышь опред ленъ. А какъ м ра должиа быгаь соогав гасптвениа изм ряемому, шо и гаяжесгаь или в съ, могутъ бытъ изм ряеиы гаолько в сомъ. Едпиицею сего изм реиія приняшъ Фунтъ (съ его подразд - леніемъ); — эшо не гаребуегаъ поясиенія. 5 10. Когда дв идя и сколько силъ, другъ другу противуположныя, д йсшвуюгаъ на т ло, не приводя его въ движеніе, — гаогда сосшояпіе ихъ называется равнов сіеліъ. Свободио ііа ІІИІИП висящее т ло находишся въ равнов сіи, и сшолько-же нагаяшваешъ нигаь къ низу, сколько нить пришягиваегаъ т ло къ верху, изъ чего сл дуегаъ, чгао рав нов сіе должно сосшавляться двумя равиыми противуподожными силамц.

Ho если на ш ло д йствуегаъ въ равнов сіи бол е двухъ лрошивуположныхъ сидъ: то, по средсшвомъ одной изв сганой ж направленіемъ прочихъ сидъ къ однои, первой совершенно про лшвулоложно, — можно произвесши равнов сіе.

5) Основныл понлтіл о быраженіи силы. § 11. Каждая сила можетъ быгаь выражаема . двоякимъ образомъ: первый, и самый есгаествен ный, есгаь выражеше в са, который ей равенъ, или означаетъ д йсшвіе, кошорое она произ весгаи можегаъ-, гаакъ наприм ръ: сила, тре бующая для равнов сія 20 Фуншовъ, выра жается 20 Фунгаами. Но какъ свойства силъ мен е принимаіотся въ соображеиіе, ч мъ вза имныя ихъ ошношенія, то принялігдругой спо собъ выражать снлы линіями. Если, иапрпм ръ, сила 4 Фуншовъ выражается линіею изв сшной длины, іпо силы втрое иди четверо бод е: ш. е. 12 или 16 Фунгаовъ — означаешся лиыіею втрое или чешверо длинн е первоіі. Въ шеоріи движенія швердыхъ Ъі лъ (о ко гпорой мы зд сь говоршпь не будемъ), силы выражаюгася ш ми пространствами, когаорыя равныя га ла въ равное время проити могугаъ.

«

— 8 —

А погаому линін, означающія сіи простран сгава, суть прямое выраженіе сиды, и въ семъ случа означаютъ пронорюрю двигающей сиды къ движимому т лу нлн іляжести. § 12. Линія направленія силы (CM. S 3), есть ша, ло коей она двигаетъ млж сгаараешся по двинугаь ш ло. Одна и та-же сила въ одно и іпоже время не можешъ д йсшвовашь по раз нымъ направленіямъ: а пошому т ло одною лпшь силою можегаъ быть движимо шолько по одной прямол линіи. Равнымъ образомъ д й ствіе силы можегаъ быть изм ряемо гполько протжвуд йствіемъ іпого ш ла, на которое она им ешъ вліяиіе. Положимъ, что іп ло въ 10 Фуншовъ приводигася въ движеше 100 Фуи тами; въ шакомъ случа сила, лроизводящая движеніе, равна 90 Фунгпамъ. ,4) Основное понтпів о матинахъ. 5 13. Машииы сушь орудія, посредсшвомъ кожхъ можно пржводишь въ движеніе массы, сберегая сиды, йли время. Машииы разсматри' ваются — или геометрически, въ лросгаомъ ихъ сосшояніи, — или вещеегавешю, Физнческя, какъ простъгл машины, изъ соединенія коихъ образуются сложныл магиины.

— 9 —

Просшыхъ машинъ счшпаегася 6 родовъ: ръггагъ, тсолесо на воротпп, блокъ, наклоннал пло скостпъ, клинъ и винтш, Но какъ мы уже сказали въ лредисловіи, чшо не им емъ ц лію лзложить зд сь полный курсъ Сшатики и Мехаиики: то счшпаемъ досгаашочнымъ разсмотр ть гдавн ншія свои сгава рычага, наклонной пдоскости и клииа — и вывесгаи о нихъ гдавн ішііе аксіомы. 5) Основное понятге о центрп тплокести. § 14. Подъ центромъ ліяжесгаи га ла разу м ешся ша гаочка, за которую т до, бывъ пов шено, или въ когаорой поддерживаясь, во вс хъ возможныхъ положеніяхъ, осшанется въ равнов сіи. Посл дсгавіемъ сего есшь шо, чшо сида, д йсшвующая въ эшой шочк , прини маегаъ вергаикальное направлете и уничгао жаешъ всякое д йсгавіе тяжесгаи прочихъ ча сшеіі ш да. Посему всю шяжесть т ла моя но признавашь соединенною въ одной шой гаочк . Для і^еншра тяліесгаи есшь анализъ еще опре д ллтедьн е. Когда н сколько шочекъ на одиой или н сколькихъ плоскосшяхъ, — шакъ между собою соединены, чгао прив шеиныя къ нииъ тяжесгаи которую-дибо изъ инхъ приведугаъ

и

— 10 — въ движеніе, шогда сіе называешся систелюю в са,', a ma гаочка, въ кошорой сумма всего в са приходшпъ въ равнов сіе, есгаь ценшръ гаяжесгаи. Въ посл дсшвіи разсмошриюъ это подробн е, и укажемъ способъ, какъ искать ценгаръ іпя жесгаи линій, плоскосгаей и т дъ.

Г Л A B A I.

О ПАРАЛЛЕДОГРАММ и-ди, СЛОЖНЫХЪ СИЛАХЪ.

§ 15. Какъ уже сказано въ § 12, никакое ш до въ одно и шоже время не можетъ дви гаться по разнымъ направленіямъ. Отъ сего происходишъ, чшо когда къ однон іпочк нли къ одному ш лу, коего вся масса по 5 14 мо жешъ быгаь предсгаавдена соединенною въ одиой іпочк , ігріідожено н сколько сшлъ, mo т до сіе останегася неподвижнымъ, или по сл дуегаъ одному лишь направленію, сл дуя вліянію гаолько одной силы, коей д йсгавіе равно сумм вс хъ пршюженныхъ силъ. Дхя дучшаго поняшія лосд дующаго прн мемъ, чшо т да, кь коимъ должны быгаь прило жены сиды, ые им юшъ шяжесши: пошому-что есдн приняшь въ соображеніе в съ т ла, шо можно принятаь оное безъ гпяжесіпи, когаорая есть виіяп ияя сила, Еіекущая т хо къ центру ЗСИІ.И Примтьшиге.

— 12 —

5 16. Когда въ одио время и въ одномъ на лравденіи JQ .ъ ш лу И (ФИ.Г1) приложены дв силы Р л Q, іпо посл дуетъ тоже д й ствіе, какъ бы ошъ одиой сиды, равиои сумм обоихъ Р ж Q, въ иаправл:еіііи AQ, пошому что какъ об силы Р ж Q могутъ быіпь изо бражеиы соедннениыми въ одиой точк , ліо и сила, къ ией приложенная, должиа быть равна Р -t- Q. Чгаобъ прпвесіпіі въ равиов сіе сіи дв , или всякое число силъ, приложенныхъ къ т лу Л, въ одномъ и томъ-же направленіи J4Q, ДОЛЖ.НО въ прогаивулоложномъ направленіи AS при дожишь силу, равиую ихъ сумм . 5 П. Но когда дв неравныя силы, Р ж Q, приложеиы къ т лу A, въ прогадвуположныхъ направленіяхъ^Р и-^Q, шо двияіеиіе должно посл довашь въ направлеиш большей силы Р; какъ будшо д исгавуетъ спла, равная разности между Р ж Q. Чтобъ доказашь сіе, изобразимъ силы Р ж Q линіями АВ ж AC, шогда сила Р представишся состоящеіо, изъ AD ж DB, изъ коихъ первая равиа AC ж еж прогаиву положна; тушъ ясно, чгао сжлы AD ж AC уннчгаожаютъ другъ друга, а т ло А мо жешъ быть движимо только силою /? , ш. е. разносгаыо между АВ жАС, жлж Р ж Q. При ложивъ-же въ направленіи AS, силу S =г Р — Q , возстановится равнов сіе между си-

— 13 —

лами Р и Q. Сл доваптельно, когда изв сганое число силъ д иствуетъ на одно ш ло, въ про тивуположныхъ направлеіііяхъ, и сумма од и хъ равиа сумм другихъ, шо равнов сіе су щесшвуешъ; когда-же одыа сумма превышаепгь другую, гао, для возсгааиовденія равіюв сія, къ меньшей должиа быть прибавлена разносгаь между об ими суммами. § 18. Когда сила Р (ФЖ.Г2) лрилоясена къ т ду А, ж направденіе ЛР перлендикулярно къ прямой линіи EG, mo ш ло можетъ дви гагаься гаолько въ напіэавлеиіж ЛР, ие огакло няясь ии къ ЛЕ, ни къ AG. Ыо есди сяла Р (ФИ.Г 3) пріможена въ наклонномъ направле ніи къ лішіи EG, mo он^ будегаъ отвлекагаь га ло въ одно и гаоже время огаъ линіи EG ж отъ периеидикуляра AZ. Эгао явсшвуетъ изь вышесказаниаго и не гаребуешъ дсказаіпельства. 5 19. Если сила Р (ФИ.Г3) предсгаавигася частыо ея ііаправлешя АВ, а нзъ точкн В проведены будутъ лииш BE п BF перпеи дикулярио къ лииіямъ АЕ, AZi, гао очевидно, чгао сила Р, увлекая т ло А къ шочк В, ошдаляегаъ его ошъ линіи АЕ на часгаь ЕВ :=: AF, а отъ лииіи AZ на часгаь ER— JE. Сл довательио т ло сіе, въ отношеіііи къ пер вому разсгаоянію, находится въ іпомъ-же по ложеніи, какъ будшо-бы ; бьіла приложеиа къ 2

— 14 _ яему сила рар.ная AF; а въ оітіоіііеніи къ вто рому разстояиію, какъ будшо-бы приложена сила ЛЕ. § 20. Когда дв силы Р п Q (ФИ.Г4 П; И 4 Ь), ириложеиы въ натфавденііг АР й AQ, образующемъ уголъ РАО п изображаегпся часшямп АВ, AC ихъ направлеше; гао д й ствіе ихъ равняется д иствію одиой сллы R, изобрагкенной діагоналыо паралледограмма ABCD. Тутъ могугаъ быть сл дующіе случаи: либо оба утл&РАВ и QAD, об^эазуемые діаго налью и лииіями иаправлеиія силъ — острые; если одинъ изъ нихъ, наприм ръ QAD, шупой, іпо другой немияуемо долженъбытьострымъ; или линіи направленія образуютъ съ діаго налью одинъ прямой и одннъ острый уголъ; но какъ доказательство для первыхъ двухъ случаевъ, безъ затрудненія можетъ быть прп дожено и къ посл днему, іпо мы особенно о немъ упоминашь не будемъ. 1-й слугай. Легко вид іпь, что какъ силы Р и Q {Ф. 4 а) не могутъ д исгавовать ни въ одномъ ж шомъ-жё ші въ проішівуполож иомъ направлеши, шо ои частыо должпы уничгаожашься; но какъ, по 55 15 и 16, силы не могугаъ быть ни вычитаемы другъ изъ друга, ни причисляемы другъ къ другу: еслд он ие приложеиы .шбо въ одномъ и томъ-же ;

— 15 —

дибо въ противуподожяомъ направленіи, шо, по § 18, силы Р ж Q долясно призиашь со сгаоящими изъ чегаырехъ сплъ, изъ коихъ дв совершенпо прогаивуположны, а остальныя р въ одномъ и гаомъ-же направленіи. Но какъ ш ло А въ одно время можегаъ двигагаься ліодько по одному направлеиію, піо оно дод жио быть сосшавлено изъ двухъ совокуішо д йствующихъ силъ. Для сего нужно, во-пер выхъ, чтобъ об ігропшвуііаіожныл силы вза имно совершенно уничгаожалпсь; иначе іп ло должно-бы сл довагаь по направленію большей силы, и, въ такомъ случа , въ одно и тоже время двигагаься ло двумъ направлеиіямъ j во вгаорыхъ, чшобъ совокупленныя дв силы д й сгавовали перпеидукулярію на об осшальныя: безъ шого въ каждомъ другомъ направленіи он д іісгавуюгаъ параллельно прямой линіи, къ кошорой прошивуположныя сиды перпендику ляриы; іпогда он ие были-бы совершенно унп чтожены, какъ зд сь предположено. Условія сія необходимы, чгаобъ изъ дв^гхъ боковыхъ силъ АВ и AC образовать сред нюіо AD. Ежели на той-же плоскосши, на кошорой находятся силы АВ и AC, черезъ точку A провесть линію EG перпендикулярно къ діа гонали AJD и пополнить прямоугольные чеш вероугодьники AEBF и AGCH, шо можно,

— 16 —

вм сгао одной смы АВ, пршіягаь об

AF и

АЕ, а вм сшо AC, шакже AH и AG; сд до укажушъ, иа сколько сида АВ уклоплегпъ іп ло отъ лрямой EG ж AD, іпочно также силы АН л AG иа сколько AC огаклоияюгаъ оиое ошъ гаой-же прямой AHAG. Изъ сего очевлдио, чгао разложеиіемъ об ихъ сдлъ АВ и AC, на 4, AF, АЁ, АН и AG, оба вышеупомяиушыя условія лсполнены, пошому чгао, во-первыхъ, силы dF ті AH д йсгаву юіпъ совм сшно іі перпещикулярно иа про шивуполояаныя АЕж AG, также оба Д ABF и DCH равньг, по равеисшву въ нихъ углозъ и гипотенузъ АВ ж DC, и BF— СН; а какъ BF ~ АЕ ті С'Щ ~ AG, шо и АЕ должпа быгаь равиа AG. Изъ сего сл дуетъ , чшо про іпивулоложныя силы АЕ л AG, между собою равны л взалм^о уплчгаожаюпіся. Изъ четы рехъ сплъ осгааюгася еще дв AF жАН ж лі ло должно двлгагаься, какъ - бы вдекомо піолько слмл двумя; ло какъ он д лсгавуютъ въ одномъ л піомъ-же иаправлеііш, гао сумма ш.ъ AF + AH = AF+FD = AD. . Сл довагаельно об сллы АВ ж AC могуліъ бышь сосредоточеіш въ одну, когаорая лзо бражается діагойалыо JZ? параллелограмма ABCD; а какъ ш ло можегаъ двлгашься по одному гаолько лапіэавлешю, шо и сд дуешъ, вагаелыю AF п АЕ

— n — чшо средияя сила, образующаяся пзъ об ихъ. боколъись, вырая аемая діагонадыо AD, есгаь едиисгавешіая, когаорою га ло можетъ ДВІ-І гагаься. 2-й слугай. Ежеліг чрезъ гаочку А (ФИ. Г4 Ь) на плоскосши об ихъ сжжь Р и Q, провести прямую динію EG, перпендпкулярно къ діа гонали AD ж дополнигаь прямоугольники ABEF ш AGCH, шо вм сгао СИЛЪІАВ, можно пряиягаь силы AJS и AF, н вм сгао сиды AC, таковыя-же AG и Aff. Силы АЕ и AG совер шенно равпы и прлгаомъ прошивуподожны ; а сі дсшательно уішчгаожаюшъ одна другую . Осгааются AF п AH; а какъ и он проти вуположиы, гао д йсгавіё ихъ равшгется ихъ разносгап AF — АН, вгли (какъ AH zz: DF), AF — DF, а вм ст съ т мъ и діагоиалн AD. Когда ошношепіе двухъ боковыхъ сжлъ (какъ наприи ръ ФИ.Г а я. b) Р и Q ж средняя сила В, выражаюшся сгаороыами н діагоиалыо параллелограмма ABCD, шо сіе называется парадделограммомъ силы. Опред леніе діагонали — посредствомъ сшо роиъ, и сторопъ — посіэедсшвомъ діагонали, на зываешся сосгаавлеиіемъ илп разлоясепіемъ сидъ. Изъ вышесказаішаго явсгавуешъ, чгао если нужно уравнов сшпь дв силы PnQ (ФИ. 5Г), коихъ паправлепіе соедиияешся въ гаочк А, а часгап ихъ выражены АВлАС, то додлсио

— 18 —

составить лараллелограммъ силъ, и, продол живъ діагональ DA до точкп К, въ направле ніи АК, приложить силу S, выражаемую ли ніею АК — AD. § 21. Также очевидио, чгао какъ оба треу гольнлка ABD и ACD подобны и равны, гао лропорція силъ моясешъ быть выражаема шремя сторонами котораго-либо изъ іпреу голышковъ; шакъ наприм ръ: Р : Q : R zz: АВ: BD : AD; и сл довагаелыю гаакже Р: Q : S = AB.BD:AD. §. 22. Когда изъ произвольно приняшой шочки (ФИ.Г5), по направденііо, составленной изь Р ж Q, силы і?, опусгаить два перпенди куляра на направленіе помянугаыхъ силъ, и соединшпь ихъ прямою линіею EF, то обра зуется пропорція Р: Q:R ~ j DF: DE : EF, погаому чгао, составивъ параллелограммъ, по лу чаеіпся: P:Q:R — AB.AC.AD, ЖШ P:Q:R = AB:BD: AD. Ho какъ угльі A ED ж AFD прямые; шо, принявъ AD za. діаметръ и описавъ на немъ кругъ, оный долженъ коснуться точекъ Е и F, а потому < BAD =. < EFD и <; CAD, или-же < ADB ~ < FED и l^ABD подо бенъ l^FDE; изъ сего сл дуетъ: что AB.BD.AD = DF.DE-.EF, или P:Q:R =: DF:DE:BF.

— 19 — Бслп въ"сся пролорціи, іім сто силы Л, вста вить ей прошивуподожііую S, то подучдтся: P-.Q-.S—DF-.DE: EF. *" Когда нуягно опред дишь лишь ошношеніе сж&ъ Р и Q, то должно принягаь пропорцію: Р: Q і= DE : DE, изъ кошорой явсгавуегаъ, чгао силы Р ж Q , ъъ обратномъ отношенш перыендикуляровъ, опущенныхъ изъ произ водьной гаочки направленія средней силы R, иа собсшвенныя ихъ направленіл. — Сія-же пропорція можетъ быть представлёна еще другимъ образомъ, когда Р: Q =z DF \ DE', шо Р X DE zzi Q X DF. Проюведепія боко выхъ силъ, умноженныхъ на разсшоянія пер пепдикуляровъ ихъ направлепій, поставлен ныхъ изъ одной точки, въ направденін сред ней силы, иазываюгася момёнтами силъ Р B.Q. 5 25. Въ каждомъ треугольник стороны содержашся, какъ синусы прогаивулежащихъ угловъ; а пояюму АВ: BD : AD ~ Sin. ADB яли QAH Sin. PAR Sin. ABD или PAQ, по тому чгао <^ABD 11PAQ суть другъ другу дополнлшелыіые ; а какъ пропорція Р : Q : R или S .TH АВ:BD: AD осгаается неизм нною, то ж Р: Q: R шлъ S=i Sin. QAR Sin. PAR Sin. PAQ; изъ сего явсшвуегаъ, что каждая изъ шрехъ силъ P.Q.R дли S можетъ быгаь изображена синусомъ угла, образуемаго на правлетемъ двухъ осшальцыхъ сидь.

— 20 —

S 24. Когда н сколько силъ Р, Q, В, S<, Т, (ФИ.Г6), предсшавляемые часгаями их^) іюп-р.ав леній АВ, AC, АЕ, AG и АК — д йструюшъ. на одну точку А; то можио ихъ вс хъ с*ое г а динить въ одиу общую силу. Для сего начнемъ съ AJS и AC, и, прынявъ ихъ за боковыя, составимъ паралделограммъ ABCD; сложиая изъ АВжАС, будетъ выра жагаься діагональю AD, потомъ изъ сей най деппой AD и ближаышей АВ, сосгаавимъ па радледограммъ ADCF, чшобъ получить діа гональ .4F, въ коей соедішены стілъі AD м AJE ; такимъ образоілъ AF есть составная шъ силъ АВ, AC и АЕ. Продолжая, ш мъ-л;е иорядкомъ, и въ отношеніп къ осталыіьшъ силамъ, вс 5 АВ, AC, АЕ, AG и АК, соединяшся наконецъ въ одну AL. . Изъ того вндно, что сколько-бы іш было даио сплъ, вс можію соедшшть въ одиу, и чгао, напротпвъ, каждая данная можегпъ бышь опяшь разложена иа произвольиое число силъ. Сіи боковыя сплы могутъ даже находпгаься на разиыхъ плоскостяхъ, лишь-бы ои соеди нялнсь въ одноіі гаочк , и, по крайней м р , дв , съ ихъ средиею, находились иа одноіі пло скости; потому-что ежелл дв прямыя линілі находятся на одной плЬскосши, шо и вс лроводимыя между илш, будутъ на той-же нлоскости.

— 21 —

Сл довагаслыю, когда иужно едпною сялою прииестн въ равпов еіе вс 5, АВ У AC, АЕ, AG й АК, шо доджно продолжагаь AL къ М и въ семъ иаправлевіи лриложигаь CMAJM^ZILA. Сіе раздожегііе и соединеніе сплъ въ особен ности утіотре§іштелыіо въ Архитекгаур , гд и въ томъ и въ другомъ часшо всгар чаегася иадобыость. § 25. Если дв боковыя сллы Р УІQ сь ихъ средною R (ФИ.Г 1), соединяіртся въ гаочк A и будутъ шерес чены прямою линіею FE, то образуется сл дующал пропорція: JP: Q : R = AFX DE : АЕ X DF-.AD X FE. Чгаобъ сіе доказать, нужно изъ іпочки D, парад лельно направленіямъ сплъ Р ж Q, привесши лииіи DC ж DB, ч мъ сосгаавляешся парад лелограашъ ABCD, изъ коего будетъ Р: Q: R = АВ, ігли DC.AC, жлн BD-.AD; ио въ подобныхъ треуголышкахъ EAF и ECD, содержится EF :AF — ED :DC; сл дова- „ „ AF х ED телыю UL -^z. —-— а въ подобныхъ-же треугольникахъі^^ £' и FBD, будет ъ FE-.AE => FD : BD; сл довагаельно BD rz —-— • нзъ чего можно заключишь, что Р: Q:R і=; AF х ED АЕУ. FD /_ ^ — -рй : —™— : AD. іісли въ сеи пропор ціи три посл диіе члена поміюжпмъ па вели чину FE, то получаемъ: P:Q:R~AFxED:AExFD.ADxFE.

— 22 — 5 26. Ho когда параллельна FE яровести линію KG, moAF : АЕ: AD = KF: GE : HD; шакже AF x DE: AE X DF -.ADxFE — KF X DE : GE X DF : HD X FE; сл дова гаельно P: Q:R-KF x DE-.GE X DF.HD X FE. §21, Изъ предъидущаго явствуешъ, чшо ч мъ шочка А ошдаленн е отъ линіи FE, или ч мъ уголъ PAQ сгаановится осгар е, га мъ лшііи KF, GE и HD сшановяшся ровн е. Но если шочку А пересшавишь на безконечно отдаден ное разсшояніе отъ ЕЕ, то линіж сіи сд - лаюшся совершенно равны и направленіе силъ (какъ въ ФИ.Г8), сд лаегася параллельно.- Если въ пропорцш: Р: Q:R— KF х DE. GEXDF: HDX FE сопропорціональные члены разд лить на рав иыя величины EF, GE, HD, mo P:Q:R — DE : DF : FE; изъ чего сл дуегаъ во-первыхъ, что средняя сила, сосгаавлениая изъ двухъ па раллельно д йсшвующихъ, должна имъ также быгаь параллельна, и равняегася жхъ сумм , погаому чшо FE — FD-+-DE; во-вгаорыхъ, что иаправленіе средней силы, проходя і грезъ іпочку D, въ ошношеніи къ силамъ Р ж Q, находигася въ оганошеніи перпеидикуляровъ или косыхъ разсгаояній направленій, прило жепныхъ къ сей гаочк , потому чщо P-.Q — DE.DF.

— 23 —

Сд дсшашелыю, когда (ФИ.Г9) дв паралле.іь ныя сллы Р ж Q, д йсгавуюгаъ иа коіщахъ лрямой негибкой линіи FE, коей' в су не по лагается, и иужио на ней иайгаи точку, къ которой должна быгаь прилояіена спла, рав иод йствующая Р ж Q, досшашочно разд - лигаь линію FE на дв равныя часгаи въ шочк D, которыя будушъ въ обратиомъ ошиошенш къ приложениыйи. силамъ; т. е. FE : ED FD, пошому-чгао въ направленіи DS, помъ направленіямъ силъ Р ж Q, должиа находшпься шочка упора, или сила S nz Р + Q. Но когда между силами Р, Q ж S сохра няегася равнов сія, то каждая изъ вшхъ мо жегаъ бышъ лризнана уравиов іішвающею, ос шальныя дв въ совершенно-прогаивуположномъ направлеиіи. Разсматривая наприм ръ силу Q, видно, чгао оиа параллелыіа об имъ, Р ж S; іпакже чгао она д йсгавуегаъ въ гоочк D, нодл большей силы S, и въ іпомъ-же направ ленш, какъ меньшая J P ; и накопецъ, что она равиа разносгаи между сими двумя силами, погаому чгао FDz=-FE — DE; шочка-же Е опред ляешся посредствомъ сд дующеіі про порціи: : параллель P-.Q — ED: FD, мли Р -л- Q:P:Q =

— 24 —

S.P^zFE:

DB, uLssiS — P.P — EF—DE, или FD-.DE,

въ коей первые шри члена изв сганы.

Примтьхаіпе. Изъ гаеоріп раздоженія и состав.іенія силъ, дегко можно измечь еще миожесшво зам чашсіь пыхъ выводовъ, но по причинамъ , уже въ начал привсдеішымъ, мы ограпичимся зд сь нами из.іо жсннымь.

Г Л А В А П.

О Р Ы Ч А Г

.

5 28. Мапгематигескимъ ръггагол б называешся прямая иегибкая линія, принимаемая вовсе пеии юіцеіо іпяжесгаіг, къ когаором въ двухъ разныхъ шочкахъ, наприм ръ-къ общимъ око нечносшяиъ А ж В (ФИ.Г10), придожены, въ одиой н той-же плоскосгаи, дв проішівуд и ствующія сж&жР ж Q шакимъ образомъ, чшо если равнов сіе между ими уничтожишся, іпо лиііія сія должиа вращашься да треіпьей не лодвижиой или подпорной шочк О. Физическій жли есгаесшвешіыж рычагъ отъ магаемагаическаго огадичаегася т мъ, что им ешъ н когаорую тодщину п шяжесшь

— 25 —

(ФИ.Г29). Зд сь пдетъ р чь объ одіюмъ іподько .машемашическомъ рычаг . § 29. По различному прим ыеігію давлепія, силы н подпоріюй гаочки, нзв стиы три рода рычаговъ: a) Рычагъ перішго рода (ФИ.Г12 a), у кото раго ліочка подпора или вращенія 0 нахо дигася между сядами Р ш Q. b) Рычагъ вгарраго рода (ФИ.Г12 b), у коего давденіе Q находигася между лодпориою шоч кою 0 и силою JP. При сихъ двухъ родахъ' рычаговъ сила и давленіе лрошивуд іісгавуіотъ другъ другу, какъ-то видно изъ самои ФИ гуры. c) Рычагъ шрегаьяго рода (ФИ.Г12 с, АВО), у коего сила Р иаходишсл между давленіемъ Q и гаочкою подпора О, шакъ чгао и зд сь давлеиіе и сила протпвуд ііствуіоіпъ другъ ДРУТУ Бсгаьеще родъ рычаговъ, называемыіі ломан нымъ (ФИ.Г12^), сосгаавляіощій нензм нный утолъАО.В, когаорьш около вершиіш своей О, д йствіемъ двухъ къ нему на одиой ллоскости приложеиныхъ силъ Р ж Q, можетъ вращаться по двумъ прртлвулоложиымъ палравледіямъ. Эши рычагп называюшся піакже угловатыми; ихъ можпо одпако - же отнеспщ къ первому роду, лотому-что точка лодпора 0 нахо дится между силою и давденіемъ.

— 26 —

Рычаги перваго рода называюгася шакже двуллечными, гаогда какъ рычаги вшораго н пірегаьяго рода называются одноллечиыміг. При двупдечномъ рычаг об сшш д йсгаву юіпъ вм сга , яли къ верху, или къ низу; при одиоплечныхъ-же одна сила д йсгавуегаъ къ верху, другая къ низу. Какъ сопроігшвленіе въ шочк подпора мо жно прииягаь за силу, приложешіую къ ры чагу; шо очевждно, чгао для составленія или изъясненія равнов сія сей машииы, должио узнашь ошношеніе силъ, д йствующихъ на одной и гаой-же ллоскосши, и приложенныхъ къ магаемагаическому рычагу. Но когда д ло идешъ о естественномъ ры чаг , шо и гаяжесть его должпа быгаь при нята за д іісшвуіощую съ нимъ. силу, какъ упомяиуто будегаъ въ 5 44. •' § 30. Дв проіпіівуположиьтя силы, прило женныя къ рычагу, находягася въ равнов сіи, когда перпендикуляры разсгаояніи юсъ направ ленія иаходятся въ обраганой продорцін ошъ іпочки упора или подпорки; сл довательно, ихъ момеишы равны. Когда (ФИ.Г ііа,Ьжс) къ рычагамъ 1, 2 и 3 рода, или къ ломашюму рычагу (ФН.Г11 сГ), приложены въ равнов сіи 3 силгл Р, Q л S, гао, по сказанному въ § 20, сіе равнов сіе су гцествовать можетъ тодько шогда, если дв

— 27 —

изъ нихъ соедипепы въ одну, а сія равна гпретьеи и прлмо ен противод пствуетъ. Ио какъ, по 5 24, дв бюковыя съ ихъ среднею или составною силою должны, илн находиться па одной и той-же плоскости, или соедпннться въ одной гаочк , или-же должиы быть другъ другу параллельны. Ежели предполагать, что направлешя сихъ лірехъ силъ, сосредогаочиваются въ А, ж изъ точки О средняго направленія провесши лниіи ОМ, ON параллельно съ направлеиіемъ боко выхъ сидъ Р ж Q, чтобъ га мъ составить па раллелограммъ ItMON, mo no 5 21, получится: P:Q:S=:RM:RN, или MO . RO; іпакже no 5 23, P.Q: S~Sln. OBN:Sin. ORM: Sin. MRN. Сооганошеніе гарехъ силъ P, Q и S, можетъ быть опред депо, когда направлеііія ихъ из в стны. Ежели изъ точки О перпендикзмярно къ направлепіямъ силъ Р ж Q провести лжніи ОЕ и OF, mo, no 5 22, получается: Р : Q = OP : OB; сі довагаельцо P X OJE r= Q X OP, m. e. момеитъ силы P равенъ моменту силы Q. Зшо-же зам чаешся и при вс хъ родахъ рыча говъ, коль скоро об силы Р ш Q параллелыіы (какъ въ ФИ.Г 12 а, д, с и d), погаому что подпорная гаочка, во всякомъ сяуча , должна

— 28 —

иаходигаься въ направленіи средией сшсы S, за га иъ, какъ ж ъъ §21, Р: Q — OF: ОЕ; сл - довашельио Р X OEtrz Q X OF. Когда силы д йсгавуюшъ параллельно (какъ въ ФИ.Г 12 а, Ь, с жd), mo и іпочки АОВ находягася въ прямож линіи, a у лоианнаго рычага (ФЖ.Г 12 с?) шочка О находигася въ вершин угла АОВ, а шочкн А жВ на. око нечносгаи бедръ онаго; посему будешъ (ФЖ.Г12 a, b, с ж d) Р: Q=z OB: ОА ; потому чшо, по лодобію Д OFB и OFA, содержигася OF: OF =2 OB : ОА, изъ чего сд дуепгь, чгао какъ при прямомъ, шакъ и при ломаиномъ рычаг , параллельно-д йствующіл сжлы (илж чгао по § 11 равио, сила и давленіе), въ слу ча равиов сія, находятся въ обрашномъ ош ношеніи ихъ плечъ, а огаъ шого Р X ОА fcr Q X OB, т. е. пронзвсделіе силы, умножегшой на длину плечъ, между собою равиы. Такимъ-же образомъ можно доказагаь, чгао когда дв про пшвуполод?.ныя силы Р ж Q, приложены къ. рычагу не въ обрашийіі пропорі^іи разсгпоя нія, шо он не могушъ быіпь въ равнов сіи. Обыкновенно напраБ.іепіе снхь принимасшся (какъ въ ФИ.Г 10 и 13 rt н Ь") перпендикудярно къ рьшагу (КОЬІ скоро прошцвное шому иеусловjceno) j а въ ссмъ сіуча плечи рычага сугпь' разсіполнія сиіы. JJpuaintaide.

— 29 —

Такъ-какъ силы д иствуюшъ иа рычагъ въ обратпомъ ошиошеши ихъ разстояній \ т о нзъ сего сл дуешъ, что вс три рода рыча говъ, въ отиошеніи къ сил и давленію, им ютъ разиыя свойства; а потому рычаги перваго й втораго рода меньшею силою удерживаюгаъ большее давленіе въ равнов сіж; рычагъ-же шрегаьяго рода, напротивъ іпого, меиьшее дав - леиіе долженъ преодол вагаь большею сялою. Изъясняемое зд сь о математическомъ ры чаг ведетъ къ р шенію сл дующихъ задачъ: § 31. Дана длниа обоихъ пдечъ, какъ прямаго такъ н ломаннаго рычага ЛОВ (ФП. Г13 ажЬ), а также и давленіе, приложенное къ крага чайшему изъ нихъ AO; — надобно найти сталу Р, кошорая для равнов сія должна бышь приложена къ длишюму плечу рычага ВО. Для сего, no S 50, будегаъ ОВ :ОА = Q: Р- „ Q х 04 сл довашелыю сила ^Р г^ ————: жли, какъ по (Jo моменшамъ силъ должгю бышь, і 3 X OJB ~ Q X ОА, то также Р — ^ QB —. Если, на прим ръ ОА ~ 6 Футамъ, ОВ =і 10 Футамъ, a Q ^= 100 Фугаамъ, іпо будетъ В z=: 2Z- 60 фунгааімъ. Когда требуется прилоясить силу Р въ раз сшояніи 15 Фугаовъ ошъ точки С, плеча ры чага ОС, mo, для равнов сія д ііствія силы, _ „ 1 0 0 x 6 должно быть Р =: ——— п: 40 Фунтамъ.

— 30 —

§ 32. Даиы, пржложеиныя къ рычгагу, дв силы Р и Q и разсгаояиія между ими АВ (ФИ.Г13 а): опред лишь іпочку подпора. Такъ какъ двуплечнаго рычага JOB об силы д йствуютъ въ одну сторону, то, со гласио вышесказанному, точка подпора дол жна находиться между ими. Положимъ, чшо разсшояиіо сжль\ Р есіпь ВО; ъъ іпакомъ слу ча , JP •• QzzzOJ • OS, no, no матемашическим закоиамъ, когда чешыре велячішы мея?ду собою пропорціональны, mo и суммы или разиосггіи относительиыхъ членовъ должиы быгаъ про порціональны; почему Р-t-Q :Q — ОА -- ОВ : OB, ио J0 ч- ОВ — АВ. Сл дова тельно Р-t-Q:Q ~ JB :ОВ. И гаакъ ВО — АВ х. Q Когда надобгю найгаи ОА, то сд лаемъ по сылку, чшо Р -н Q : JP = АВ : АО; шъ чего .„ JB х Р сл дуетъ, что AU ^z — —. Сіи обыкновенныя выраженія для рычага перваго рода, могугаъ быть употреблены и въ оганошеніи ломанныхъ рычаговъ (ФИ.Г13.6), гд плечи АО -+- ВО предсшавляютъ всю длину рычага АВ (ФИ. Г13 а). Ежели, какъ и прежде, пржиягаь, Р = 60 Фуитамъ, Q ~ 100 Фуішіамъ; а АВ~І6 Фуитамъ, и нужио опред лить шочку подпора для равпов сія, шо должио прииять въ соображеніе, чгао для

— 31 —

бодьшаго рычага потребно меньшее, а для меиьшаго в су большее. пдечо, и въ отношеиіи разстоянія сплы отъ шочки подпора О про поіэція Р -+ LQ : Q r= JB : В0- Если тушъ, вм сгао Р -і- Q : Q жAJB, всгаавишь данныя ведичины, шо будетъ 160 : 100 = 16 : ВО\ „ _ 16 х 100 Т Т жлж х»С/ zz: •———— =^10 Футамъ. 11о какъ 160 ^ АВ — ВО ~ АО, ШО АО ~ 6 Фугаамъ. Когда для большаго в су Q потребно мень шее плечо рычага, то доЛжио заключигаь, чшо P-i-Q.P = JB:AO, или 160:60r=16: J(0; . _ 16 х 60 . _. ш. е. АО — —г^— ^^ 6 Футамъ; но АВ — АО ^z OB. Сл довагаельно для ббльшаго пдеча выходишъ опяшь 10 Футъ. Но когда сялы д йсшвуюгпъ въ противу положиыхъ между собою направленіяхъ, іпо іпочка подпора'(5 ^9) должна находиться въ сторои огаъ нихъ, а рычагъ долженъ быть втораго или третьяго рода (чгао свойсгавенно рычагу вгаораго рода, то свойсгавенно и ры чагу трешьяго рода; ибо все равно: которую изъ двухъ д йсшвующихъ приняшь за силу и которую за давленіе). Даны — рычага вшораго рода (ФИ.Г 13 С) подпориая точка и силы F ж Q; — требуется узнать разсгаояніе ОВ силы Р, когаорое при водило-бы въ равнов сіе, приложенную къ дру гому плечу рычага, силу Q1 — Предположимъ 3*

— 32 —

шочку подпора въ 0, гаогда для равнов сія должно Р : Qz^ АО • ОВ. Или-же, какъ выше упомянушо: Р — Q : Q z= АО — ОВ : ОВ. Цо АО — ОВ =~ЛВ> mo JP— Q :Q -. АВ І ОВ олред ляещъ разстояніе большей силы или длину меньшаго пдеча ^ а поіпому Даноразстояніе силы 7 3 ; -• — требуегася опре д лдшь длину всего рычага, посредсгавомъ коего давленіе Q могло-бы быть пржведено въ равно в сіе съ силою Р. Въ семъ случа должно упо гпребишь пропорцію : Р — Q : JP =z АО — ОВ : АО. Но какъ АО — ОВ = АВ; то будетъ Р — Q : і 3 =: АВ : АО , и шакже А 0 - ^ х р • Ежеди сила ^ і=г 160 Фунтамъ, а давленіе Q =: 60 Фунтамъ, лредполагая при шомъ длину одноплечнаго рычага АВ — 16 фун гаамъ: надобно узнать ОВ разстояніе силы Р оіаъ шочки подпора, чгаобъ привесшж въ равнов сіе давленіе Q, д йствующее на другое плечо рычага. Мы нашлж, что UB = _ — ; но АВ, или разстояіііе об ихъ силъ, хоіпя еще неиз в стное, опред лится выраженіемъ AQ — О^ = АВ. Чтобъ найти QB, вяразимъ. Р — ' Q '• Q —. АО — OB : QB, или 100 : 60 = 16 —

— 33 —

OB : OB; шакже 100 OB =z 960 — 60 OB-, тогда 160 OB — 960; сі дователъно, О^ = 960 т— ^: 6 Фушамъ; а за т мъ, для разсшоянія силы АВ осгааешся 10 Фушъ. Наконецъ, можетъ ііотребовагаься при дан иомъ разсгаоянш ОВ изв сганой сйлы Q, опре д лить длину всего рычага, приводящаго силы JP и Q въ равнов сіе. Для сего приб гнемъ къ сд дующей посылк : P—Q:P = Л0—ОВ:АО, или 100:160 = ЛО — 6: ЛО. Ііосёму 160 JO — 960 =: 100 АО; А^ 960 \ \ сл довашельно ЛС = -^- =: 16 ФуЛамъ; чгао и будегаъ искомая длина всего рычага. Прим га?іге. О шеоріи рычаговъ моніно-бы распросшра нишься гораздо 6ox6ej мо какъ и из.іоженнаго зд сь досташочно длся объясненія приводимыхъ нами ЕЬ-І водовъ — шо ограничимся шодько зіеобходииьімЯ указаніями по сему предмешу. Чшо касаешся до есшественнаго рычага, шо бодыиая часшь шеорін машемашнческаго рычага можешъ быть къ нему прим нена; но, для да.іьн иіинхъ объясненіи о первомъ, приведемъ прежде теорііо — і^ешпра тяжесши.

— 34 —

Г Jl A B A III.

O ЦЕИТРАХЪ ТЯЖЕСТИ

И

СТОЙКОСТИ Т ДЪ ВООБЩЕ.

§ 33. Изъ сказагшаго въ § 8 о шяжести явствуетъ, чгао въ т лахъ разиыхъ родовъ, тяжесть пропорціоиальна количесгаву веще ства, содержащагося въ равныхъ объемахъ, — га. е. пропорціоиалыіа пдоганости т ла. По сеиу т ш да, коихъ сосшавныя часгаицы мелче и плотн е, им юшъ и бол е гаяжестж; — жел зо и камень тяжед е дерева. S 34. Еми какое-либо т ло пеподвижно лежишъ на земл или на чемъ-бы шо ни было, образующемъ ровную плосдосгаь, шо всю my сшорону, кошорою оно касается сеи ПЛОСКОСП, ІІІ называюіпъ осиованіемъ т ла, и говорягаъ, ч т о т ло поддерживаемо ИЛІІподперто га мъ, на чёмъ оно лежигаъ. Но еслж ш ло ПОКОІШЯІС па н сколькихъ опід льныхъ подпоркахъ, бол е или мен е острыхъ (иаприм ръ, если чгао-ни будь поднягао па коіщахъ пальцевъ): то плос косгаь, образуемая прямыми линіями, умсшвеішо проведенньши между подпорками, есть осно ваніе т ла.

—

35

-r-

§ 35. Бъ 5 8 У ж е объяснили мы чпго есшь ценіпръ шяжестн т ла; зд сь прибавииъ толь ко, ч т о если т ло (ФИ.Г14) въ прсщзводыюй іпочк его ловерхносіпи пов шено за веревку, то оно должно принягаь такое пол женіе, чтобы продолженіе веревки проходило черезъ і^енгаръ G шяжесши ш ла, или образовало въ немъ ось, вокругъ когаорой вс части его бу душъ въ равнов сіи. Пря каждой перем н гаочки, къ которой касается веревка, — продолженіе направленія оной пзм няешъ и ось; но зам гаигаь должно, что, по сд лаииымъ опыгаамъ, вс сіи оси про ходятъ чрезъ ценгаръ іпяжесши гп ла, a no сему каждую ось можно назвать линіею цен тра т.лжести. Сеж ценшръ въ т лахъ пра вильныхъ и однородныхъ всегда находишся въ средин массы, какъ видно иа ФИ.Г 15. § 36. Прея^де называлн и шеперь иногда на зываютъ цешщуь шяжесгаи га ла — средото чіемъ тяжести его *, но не должію полагагаь оное такою точкою, кошорая, если разр зать га ло съ произвольиой сшороиы прямою іглос костыо *), разд ляла-бы іп ло на дв равнов о ныя половииы, или — если т ло одиородное, гао чтобъ сш половины были н равном рны; a

) Пдоскосшь сію можко назвашь пдоскосгаыо ценшра тяжесши.

— 36 —

также чтобъ цеитръ шяжести могъ быть и центромъ объема т да. Такой ценгаръ объ ема, какъ мы въ посл дстіи докажемъ, суще ствуетъ только въ очеиь немиогихъ т лахъ, хошя-бы он и сосгаояли сплошь изъ однород наго вещества. Но каждое га ло, какой-бы оно нй было Формы, однородное шги разнородное, им етъ свой центръ тяжести. Изъ сказашіаго легко видно, чгао ценгаръ гаягкести не всегда должеиъ находжться въ объем т ла, — ио можегаъ быть ж вн онаго, въ совершенио-пустомъ пррстрансгав , или лтиъ часшыо іполько заияшомъ массою ш ла; іпакъ, наприм ръ, цеитръ тяя^есгаи бомбы находшпся во виугареинемъ, пусшоиъ, ея про странств ; также точно и въ свод . ' 5 51. По вышесказашгому, т ло н когаорой іпяжести можегаъ держаться въ равнов сш даже на осгпромъ кЫщ , или на одиой шочк , лишь-бы эша шочка паходилась на линіи, со вершенно перпендикулярной къ центру -гая жесши. Сколь легко удовлегаворить посл днему требованію, пов сивъ т ло на веревк , столь затруднигаельно поставишь т ло на остріе, или иа одну гаочку (ФИ.Г16), потому чгао для сего н гаъ никакихъ дашюстей: шогда какъ привязаниая къ т лу веревка не осшав ляетъ оиое. Впрочемъ равиов сіе, которое сгаоль легко можегаъ быть нарушено, не при-

— зт — лагаешся къ разнымъ часшямъ здаиій, шребу ющихъ прочгіаго и непокодебимаго основанія. 5 38. Изъ предыдуш;аго явствуетъ: чшо есди нещэавильное пг ло (ФШГ. П) основаніемъ своимъ de, поставлено на горизонгаальную ллоскосшь и проведеиный изъ і^еишра его гая жесши лерпендикуляръ не выходишъ изъ сего основаиія, то га до будешъ держагаься съ н - кошорою швердосшыо на плоскосшж; іпакже если (ФИ.Г18) перлещикуляръ изъ ценгара хпя жести упадешъ въ коиечную точку основа нія е, то т ло, хошя и можешъ держашься въ равиов сіж, но мад йшій толчекъ опрокн нетъ его за точку е. Накоиецъ, если перпен дикуляръ ад (ФИ.Г18), опущенный изъ центра тяжесгаи, упадешъ за іпочку е, то т ло уже ие можетъ удержашься иа своемъ основаши. — < Это прежмущественно оганосшпся почгаи до вс хъ неправильиыхъ т лъ. ІТржзмы-же, пара лелошіпеды и цилиндры^ лишь бока ихъ были бы перпендику.іярны основанію, и самж онж лоставлегш на горжзонталыіую плоскосшь, •— жм ютъ іпвердую сжгожкоспіь. § 39. Когда ценшръ гаяжесгаж уломянуліыхъ въ лредъждувцемъ § т лъ, паходжтся па осж, проходящеж ліакже ж чрезъ ценшръ основанія сжхъ лі лъ, гаогда сущесшвуетъ во вс хъ ча сгаяхъ равное солрошжвленіе жлж сшожкосшь. Должно зам шжлгь, чшо слюйкосшь пржзмъ,

— 38 —

при равныхъ осиованіяхъ, уменьшаешся по м р прибавденія ихъ высогаы. Посему пара делопипеды, изображенныя на Фжурахъ 19, 20, 21 ж 22, въ ошношенія къ іпяжесгаи, вы сошою сод.ержаіпся, какъ 1:2:4:8 , стой костыо 1 : A : і : A; при условіи однакожъ, чгаобъ га ла сіи находились совершеиио пер пендикулярно къ горизоишальиои плоскосгаи. Но какъ сія усіовная степень совершенсшва перпеидикуляра невозможна на д д , т о умень шеніе стойкосган принимаегаъ (чеиу ежедиевио видим-ъ прим ры и въ чемъ удосшов ряютъ опышы) гораздо бысгар йшую прогрессію, до того, чгао призма, им ющая въ высоту 40 разъ свое осиоваиіе, уже ие можешъ усшоягаь. § 40. Стоикосгаь іп лъ съ равныии осно ваиіями уменьшаешся пропорі^іоналыго увели ченію і^еншра тяжесши ошъ основанія. A какъ въ лризмахъ, паралелошіпедахъ и цидин драхъ (эшо доказано будегаъ въ своемъ м сга ) ценгаръ шяжести на половин ихъ оси, гаогда какъ въ пирамидахъ и конусахъ онъ на і вы согаы, то и сгаойкосгаь пнрамиды къ сшожко сгаи призмы содержигася какъ 2:1, іп. е. она вдвое бол е. § 41. Сшойкосшь равнообразныхъ и равио рысокзіхъ ш лъ содеря^ишся какъ діаиетръ ихъ осгюваиія, а не какъ пхъ поверхносгаи; a no-' гаому сшойкосшь параделопипедовъ, ФИ.Г 25,

— 39 — 24, 25 и 26, коихъ основаиія вігдиы (ФИ.Г23', 24', 25' и 2б'), и с держишся, какъ 1:2:3:4:8 , а возрастаетъ, какъ і : 2 : з : 4 : 8. Знаніе ценшра шяжесгаи необхрдимо для ис численія сопротпвдеиія, д йствія и сгаойкости часшей, составляющихъ зданіе. Бывагогаъ слу чаи, гд не иужно принимать въ соображеніе Форму т да; въ бсобешюсши-же гаамъ, гд оно д йсшвуетъ одиою лшпъ шяжесгаію своею, которая можешъ быгаь ііредсшавдена сосредо гаоченною въ одиой точк . Приступжмъ шеперь къ шучеиію способовъ: какъ ошыскивать ценгаръ іпяжесгаи лииій, плоскосшей п т лъ, напбол е упогаребишель ныхъ въ строигаелыюмъ искусгав .

Г Л A В A уі.

О ЦЕНТР

ТЯЖЕСТИ

ЛЖЯІШ.

§ 42. Хошя матемагацческая линія ие им егаъ никакой толщжпы, а поіпому и HC можегпъ им ть в су, ио можио предсшавжшь ее состоя щею изъ безчисленнаго множества гаочекъ или составныхъ часгаицъ, изъ коихъ каждая іш етъ н который в съ. Точки сіи въ прямой лшіііі находятся вс въ одномъ и іпомъ-же направ-

— 40 —

ленін, а въ кривой каждая шочка изм няетъ направлеиіе.

1} 0 центрть тлжеапи прллюй линіи. S 43. Центръ тяжесши прямой линіи АВ (ФИ.Г 11) находишся на средин оноя. Представимъ себ сію линію подпершою только въ точк С; тогда об равныя поло вииы ея, состоя жзъ гаочекъ равно шяжелыхъ, должны быгаь въ равнов сіи •, а потому пря мая линія въ горизоигаадьиомъ и косвенномъ подожеиш (ФИ.Г28), лишь-бы была подпергаа въ средин , должна покоиться иеподвижно. Сл довашельно ценшръ шяжести каждой лря мой линіи есшь ея средина. 5 44. Каждый есшесшвенныи рычагъ, когда оиъ везд равиой гаолщииы и одшіаковаго ве щесшва, можегаъ быть принягаь за линію, какъ мы ее описали въ предъидущемъ §. Центръ его шяжести находится въ средин и мо жешъ быгаь приняшъ за шрешыо равную. Теперь мы можемъ обрашишься (си. % 32) къ поясненіямъ объ упогаребленіи рычаговъ. Предсшавимъ себ такой есшесгавенный ры чагъ АОВ (ФИ. Г29); къ концамъ его придо жимъ тяжести Р ж Q\ — тогда по разстоя ніямъ свожмъ АО и ОВ , он должны быть въ равнов сіи; но сіе равнов сіе, очевидно, мо-

— 41 —

жешъ сущесгавовать только по присоединенш в са естсствеинаго рычага. Сей в съ можетъ быть принягаъ какъ придоженный къ средин въ Z? и д йсгавующій въ вид третьей шя жести G ; пюгда уже самъ рычагъ остаешся чисто матемашическій, на кошорый д йству югаъ 3 іляжестж. Положимъ, чшо даны Р, Q и G. Нужно сыскать шочку подпоры 0 естественнаго ры чага, на которой JP ж Q были-бы въ равно в сіи. Для сего заключимъ; что въ состояніи равнов сія ОВ X Q = ЛО X JP-+-DO X G ; „ JO х Р + DO х G „ сл довашелыю, Ц> т — и І* ОВ х Q ч- DOx G ^ =: • -jpr . drao оудетъ выражеше об ихъ шяжесгаей J 3 и Q, состоящихъ въ рав нов сіи; но для опред ленія точки подпоры О и в са рычага (кром тяжестеи изв стны намъ іполько разетоянія ABuAD, жлн DIf), — должно прибавигаь выведенпыя уравненія ОВ = АВ^-АО ж OD — AO~AD, чшобъ получить АВ X Q—АО X Q—.АО X Р-+- ЛО X G — AD X G r также АВ X Q -+- AD X G = (Р ч- Q -t- G) X АО', сл дова АВ х Q-t-AD х G ._ Такимъ образомъ опред лигася одно плечо рычага, сл довагаельно и другое. Изъ этого видно, какъ доджно посгаулать и: въ другихъ

— 42 —

подобныхъ случаяхъ. Присовокупнмъ enje при м ръ упошреблеиія рычага. Въ случа вопроса: сколько давленіе дагшой шяжеспш д йсгавуеіпъ на одну стойку бюл е, ч мъ иа другую, когда она пршюжена между аши, ио къ одной сгаойк ближе, ч мъ къ другоіі ? Бс,-ш.4і? (ФИ.Г30) есшь брусъ, коего коицы Лж JB подперты сшойкамж АВ ж BF, ж оиъ не шокмо собствешюю шяжесгаыо, но и дру гою, къ нему вршгожеиною въ шочк С (йли въ разныхъ еще пуикшахъ) давитъ сшоііки AD M BF, Ж иужію опред дишь давленіе, д й ствухощее на каждую жзъ нжхъ особо; шо должно посіііупить сл дующимъ образомъ: сы скать цеишръ тяжесши вс хъ давдеиій, въ когаоромъ представишся ихъ сумма щ S. Сое диненіе сіе получаегася, когда, сложивъ вс моменшы, разд лигаь прожзведеніе на сумму всей гаяжесіііи. Положимъ, что сія точі^а находишся въ Е; шогда прямая 'диніл ЛВ, безъ собствеиной тя жести, подперша въ іпочкахъ А ж В, ж къ ией въ точк Е приложена шяжесшь ~ S; іпугаъ, если примемъ, вм сто сшоики А, силу JP, которая равнов сиа S: mo, no § 50, JP X АВ

і= *S X JBB; сл довашельно, Р ~ — •—= — опре

д ляешъ давленіе на стойку AD. Точно іпакже,

— 43 —

принявъ вм сто стоігки BF, В, силу Q, равиов сную съ S, будетъ Q X АВ =:S X ЛЕ, равно Q =: — • а вм сга съ „ ,-. S х BE S х JE " '•Ч —• — ~7д — •' T/J 7- ' ^ 1, е ' Д а:влеіІеі н а стойкж ііаходится въ обрашиомъ содержаніи къ разстоянію отъ шочки JS. Если все разсшояніе АВ = 50 Футамъ, а ЛЕ наидено — 15 фуга.; mo BE~Z5 фупг.-, еслж вся тяжесть жъ Е=. 1000 Фуншамъ, то будешъ 35 :15 =: Р : Q, a no S 32, 35 ч- 15 : 15 z=.M.-+- Q : Q; но Р -t- Q ~ 1000 Фунга.; тушъ 50 : 15 zz: 1000 : Q; сл довашельно Q.-in300 Фун тамъ, a, JP zzz 100 Фунтамъ. — Эгао іпяже сгаи, которыя оказываютъ давлеше на каж дую сгаойку. Посредсшвомъ. прописаннои Формулы, можно опред лишь величігаы JP ж Q. Употреблеиіе и приложенія рычага сшоль миого различны, что должио предоставить собсгавешюму пролзволу нашихъ чшпателей выводъ іп хъ приложеиій, кошорыя будушъ требоваться обсгаоягаельсшвами. 2^) 0 центртъ тлокестпи полукруга. § 45. Какъ шочки, сосшавляющія кривую лшшо, не находягася въ одиомъ и: гаомь-же иаправленіж, то и середина сен липіи не мо- въ точк

-

— 44 —

жетъ быть прнняша за центръ ея тяжести; іп. е. если, наприм ръ, нолукружіе подпергао въ средин , шо оно тодько въ двухъ про шивуподожныхъ направденіяхъ можегаъ удер жаться въ равгюв сш; въ первомъ об око нечносши находятся ниже подгюрки; во вшо ромъ он выше онои; однакожъ гаакъ, чтобъ въ об ихъ саучаяхъ кривая лшіія находидась на горизонгаальной плоскостж. 5 46. Нужно опред лить цеитръ тяжесгаи полукруга ABCDJE (ФИ.Г31). Для сего пред сшавимъ себ его разд леннымъ на произволь ное, но равное, число дугъ; наприм ръ на АВ, ВС, CD ж DE; приведемъ симъ дугамъ хорды и разд димъ каждую на дв равиыя части; тогда точки д ленія, М; N, Р и К, укажушъ і^еншры тяжести сихъ хордъ; по шомъ, проведя лтнін MN ж РК, ж разд ливъ ихъ въ Q ж I no лоламъ, получимъ въ Q ценгаръ іляжеспіж хордъ АВ ж ВС; шочно также / будетъ і^еитромъ шяжести хордъ CD ж DE. Наконел[ъ прогаягиваюгаъ линію Q1 ж разд ляютъ ее на дв равиыя часігш въ ліочк G'I іпогда G ж будетъ центромъ гаяжести хордъ АВ, ВС, CD ж DE. Теперь, чтобы шочніе опред лигаь разстоя ніе цеишра ШЯЯІ СІШГ G ОШЪ цеишра подукруга J?-, проведемъ линію FK перпегідику.іярііо къ DE, шакже радіусы DF ж EF, хорду СЕ и

— 45 —

діаметрть АЕ'-, шогда, во-первыхъ, въ двухъ гареуголыілкахъ RIF н DHE <^ FIK = BHD т 50° ж < IFK = HED. Сл дова тедьно, <^1KF х^ ffDE и Д RIF и DHE подобіш; изъ чего заключиіпь можно, чяю ED : EH = FK .: F/; гаакже %ED - %ЕН т FK •• FJ; но 2ED = CD + DE н lEH = EC, С? - довательно CD ч- DE ; EC — FK :FJ. A какъ притомъ <^ CUE ~ IGF и <^ CER ~ QFI, mo д < RCE =z GIF м Д ECR и /"/G подобцы.; сл доваиельио : EC : ДД = FI • FG. Мы вид ли, чгао CD І Z>S: .E'C =: FK-.FI; почему CZ? -+- Z)^ : ER — FK -. FG; HO можио также послать 2 (CZ? 4- DE) : 2ER ~ FK .FG; — однакожъ 2{CD-*'DE) =z AB + BC + CD + DE и 2ER ~ AEy сл довательно: AB + BC -н CD -+- DE : AE — FK: FG A no эгаому вообще сумма вс хъ равной величииы хордъ полукруга содержишся къ хорд всего подукруга, какъ перпендикуляръ нзъ і^енгара круга возстановленный на кото рую-либо изъ хордъ, содержится къ разстоя нію центра тяжесши отъ і^ентра круга. Есди представить себ , что полукругъ раз д ленъ на безконечно малыя дуги, шо длина вс хъ хордъ будегаъ равна длия подукруга 4