Золотое сечение

были проведены к окружностям, кото­ рыми образуются триады золотого се­ чения, две касательные, левая и пра­ вая. Они пересеклись в точке N, опре­ делив предел, к которому стремится восходящая ветвь. Соединив точки ка­ сания с центрами соответствующих окружностей Оо, Оi, 0 2 и т. д., полу­ чаем вершины прямых углов (сопря­ жения касательных и радиусов) J l ь Л 2, JI з и т. д., П 1 , Л2, Я3 и т. д. Линии, соединяющие их попарно (Л\П\ и т. п.), пересекают вертикаль под углом в точках, служивших нам центрами при построении окружностей,— в точках ди- хотомичного членения вертикали в золо­ том сечении Оi, 0 2, 0 3 и т. д. Из трех этих элементов: касательных, радиусов и нормалей к вертикали и образован А-ромб — пространство симметрии по­ добий. Его составляющей единицей слу­ жит прямоугольный треугольник, в ко­ тором отношение малого катета к боль­ шому равно отношению большого кате­ та к гипотенузе. Такой треугольник — треугольник геометрической прогрес­ сии — имеет едищ:твенное решение — это треугольник д/Ф. В А-ромбе он полу­ чил шесть различных ориентаций (рис. 35). Любой отрезок в структуре А-ромба можно принять за линейную меру длины (1). Тогда длина любого Г~ п другого его элемента есть число д/Ф , где п — целые числа, положительные либо отрицательные. А-ромб не имеет мерности. Также и любой из лучей NJ1 или N11 можно принять за ось симметрии (вертикаль), и тогда нормали станут радиусами, радиусы — нормалями, вер­ тикаль — касательной. Отбросив не­ нужную половину и дополнив остав­ шийся треугольник д/Ф его зеркальным отображением, вновь получим А-ромб, тождественный исходному. Тождествен­ ный, несмотря на то, что его_ размеры (линейные) уменьшатся в д/Ф раз. И

J l с рядка ~2 и ~2 возникли одновременно с числом 10 (см. рис. 34).

Доказательство.

/г о В ряду а, Ь, с, d при с = 1, а = Ф2= — ------, b =

= ф ' = ^ + 1 f с = ф ° = 1, d = Ф _ | — - . От- сюда восходящая триада дихотомично разделена в отношении ( d + Ь) = д/5: (2 + ^ 5 ) = = 0,527864, а нисходящая — в отношении (а + & + у ) : у = ( 5 + 2л'5): 1=9 , 472136 , что в сумме дает 10. Числителем дроби служит отрезок триады, взятый в направлении развития ряда . Изучая чертеж построения золото- члененной цепи окружностями, я понял, что введение прямого угла преобразо­ вало линейный ряд золотого сечения в пространство симметрии подобий. Про­ изошло это так. Чтобы придать чертежу законченный вид, нужно найти предел, к которому стремится убывающий вид. Эстетическая потребность иметь изо­ бражение, левая и правая части кото­ рого симметричны, зеркальны, требова­ ла осуществить членения вдоль верти­ кали и развивать золотую цепь не полуокружностями, что достаточно для цели практической, а окружностями. Зеркально симметричное изображение позволило заметить интереснейшие ма­ тематические закономерности, не при­ влекшие внимания ни одного исследо­ вателя; интересы предшественников з а ­ нимала, по-видимому, геометрия золо­ того сечения, а не образы. Полученный чертеж — асимметрич­ ный А-ромб — представляет простран­ ственную восходящую ветвь золотого сечения. Он обладает и эстетическими, и математическими качествами, вызы­ вает образные ассоциации и выявляет также не внешние, глубокие связи с формами жизни. Чертеж возник, когда