Золотое сечение

3

радиуса m i l с радиусом nl . Теперь это радиус тп. После проделанной операции д и а ­ гональ прямоугольника, подчиняясь правилу пропорции (синхронности), примет конфигурацию спирали Архи­ меда *. Это единственно возможная в круге траектория, инвариантная диагонали прямоугольника. И это д и а ­ гональ, ибо она соединяет две фикси­ рованные точки: точку периферии (как начало и конец цикла) и точку центра, принадлежащую другому основанию (точки периферии нормально отраже ­ ны в точку ц ентра ) . Спираль Архимеда в круге есть топологический инвариант диагонали прямоугольника. Замена статической точки зрения кинематическим подходом разрубает очередной гордиев узел **. М ат ем а ­ тики упустили этот параллелизм. А ведь отсюда сразу же следуют два нетри­ виальных положения: 1. Как геометрическая абстракция циклического процесса круг НЕ есть * Представление о конфигурации спирали Архи­ меда можно получить, заставив «трубку», в которую как в случае прямоугольника ,будет втекать жидкость, поворачиваться около з а ­ крепленного конца. Существенно то, что оба конца «трубки» при движении с одинаковой скоростью в одном направлении «заметают» прямоугольную конфигурацию, нарушение р а ­ венства скоростей ведет к кривизне.

предел правильного вписанного в него многоугольника с неограниченно воз ­ растающим числом сторон, ибо диаго ­ налями такого многоугольника я в л я ­ ются прямые, соединяющие вершины, покоящиеся на периферии (окруж ­ ности) круга, в то время как диаго ­ наль круга, и притом единственная, есть искривленный трек (спираль Архимеда) , идущий от фиксированной точки периферии к центру круга. 2. Сферу можно рассечь по диаго ­ нали; секущим треком будет поверх­ ность тела, получаемого вращением спирали Архимеда около оси, проходя­ щей через концы спирали, лежащей на оси сферы. Только здесь следует внести су ­ щественную корректировку, справив ­ шись с которой, мы обязательно решим задачу о топологическом преобразо­ вании сферы в тор (и обратно) , после чего получим возможность заняться главной темой — феноменом золотого сечения. ** Цилиндрическая поверхность со спиральным витком — это тот ж е случай: если диаметр верхнего основания цилиндра увеличить, а нижнего—уменьшить (так поступил Ф. Клейн, строя свою бутылку) и далее сомкнуть в точку, то получится конус, который изменением угла можно развернуть до состояния плоскости, когда виток диагонали становится спиралью Архимеда. Так что все, рассмотренное на примере цилиндра, соответствует кругу, сечен­ ному диагональю— спиралью.