Золотое сечение

примет вид:

жает гармонию более совершенно, чем натуральный строй. Не случайно тем­ перированный строй лежит в основе европейской музыкальной культуры. Но это означает, что музыка основана на иррациональных числах. Числа, по­ лучаемые из законов гармонии, также иррациональны. Так что в основе п ри ­ роды — иррациональные числа. Нату­ ральный же ряд чисел легко выводится из законов гармонии — из закона II (см. формулу (23) ) и из закона III [39, с. 71], являясь как бы вторичным. Вернемся к ряду (А) . Он выражает сложную структуру и поэтому до сих пор не было формулы ряда (А). Фор­ мула ряда (Б) проста: ап= 2п /п , где п — целое. Из законов I и II мы полу­ чили формулу ряда (А) в виде дихо­ томического закона: A m, i . j = ( я ± 2 Л)|,/, (41) где А т,ц — га-ный член ряда (А), взятый в /-ом и /-ом диапазонах. Число а может принимать только два значе­ ния: а\ = \\ а 2 = (2 + 1 + 2 - 1 )/, где / = = — 1. Пусть а = а\ = \; тогда форму­ ла (41) примет вид: A mj'j = (1 ± 2 ”)/,/, (42) где при сложении п = 0 , — 1 , — 2 , — 3 ; при вычитании п = —4, —5, — 6 , — 7 . Пусть i = + 1 , / = + 2 . По фор­ муле (42) (без подчеркнутых значе­ ний п — о них скажем позже) получа­ ем пять членов ряда (A) (Ai, А 2 ..., As). + 1 +2 Преобразуя их по S Kв Д и Д, полу­ чаем пять пар чисел ряда (А), пока­ занных в табл. 22 . Шестую и седьмую пары получаем при а = а2= ( 2 + 1 + + 2 - 1 )_i . В этом случае формула (41)

A mj,j = [ ( 2 1—|—2 2Л]|,/, (43) где при сложении п = + 1 , при вычи­ тании п = — 1 . По формуле (43) полу­ чаем еще два члена ряда (А) (Аб, А7) и соответственно шестую и седьмую пары чисел (табл. 22 ) . Тем самым мы получили ряд (А), т. е. музыкальный ряд (чистый строй). Значения п = = —5, — 6 , —7 для формулы (42) введены из соображений симметрии дихотомического ряда 2 п, взятого в диапазоне семи октав (от 2 ° до 2 ~ 7) с центром хк= (У 2)- 7 (сложение + 2 Ли вычитание — 2п в формуле (42) есть учет этой симметрии).

Таблица 22

п

т

4 щ, +2

4m. + 1

1

0

1

2

- 1

2

4 /3

3 /2

- 2

5 /4

3

8 /5

4

- 3

9 /8

16/9

- 4

5

16/15

15/8

6

7 /5

10/7

+ 1

7

- 1

6 /5

5 /3

При этих значениях п по формуле (42) получаем дополнительные к ряду (А) члены. Они в Д равны 0,969, 0,984, 0,992, т. е. соответствуют числам S H (см. табл. 4, § 15). Два числа, получен­ ных по формуле (43) , являются самы­ ми загадочными числами ряда (А).