Золотое сечение

(16) оставалось точным. Поэтому фор ­ мулу (16) назовем жесткой. Ряд в табл. 19 оказывается приближенным выражением четных степеней а (табл. 18), если сохранить два условия вто­ рого вывода и оставить жесткой фор ­ мулу (16). Д ва разных приближения (в табл. 18 после получения степеней а , в табл. 19 — приближенные числа 16/9, 8/5 , 7 / 5 подставлялись в фор­ мулы) дают одни и те же числа. В обеих + 1 + 2 + 2 таблицах a _L b, кроме пары 10/7 _L + 1 _L7/5 в табл. 19. Это перекрещивание (поворот в получении чисел ряда) произошло потому, что пара 4 / 3 N * 7 / 5 связана формулой (39) более точно, чем пара 10/7 N» 4 /3 . Член 10/7 оказы­ вается как бы «лишним»: от него не следует по формулам (16) и (39) но- + 2 + 1 вых чисел. Пара 10/7 _L 7 / 5 содержит число 7 и является седьмой. Опять число 7 и тот же смысл, что и в § 16 — количественная мера, ограничивающая качественный сдвиг. Второе «лишнее»

число в табл. 18 и 19 — число 2. Но, используя число 2 = (У 2 ) 2 в преобразо­ ваниях по формуле (39), получим числа - 1 + з в диапазонах a _L b, инвариантные числам табл. 19. Таким образом, имеем 7 качествен­ но симметричных пар чисел, образую­ щих ряд: 1, 16/15, 9 /8 , 6 /5 , 5 /4 , 4 /3 , 7 /5 , 10/7, 3 /2 , 8 /5 , 5 /3 , 16/9, 15/8, 2 — представляющий собой своеобразную замкнутую числовую систему. Следо­ вательно, четные степени а приобрета­ ют важное значение, так как связы­ вают формулы (16) и (39) ; особенно а 2 — основа этой связи (р 2 = 2 а 2, т. е. Р 2 __ 2\ 2 л п п 0.484 7 ^ а. ); а = 0 , 9 3 9 = 0 5 1 6 , в целых 2 15 n r io ^ r 0,484 числах ( 2 = 7 ^ = 0,9375 = пс. , с — чис- 16 0,516 л о , близкое к д = 0,943 = ^см' § 1 5 ) . Полученный ряд в точности совпадает с музыкальным рядом (А) (см. § 1 0 ).

24. ЗАКОНЫ ГАРМОНИИ В МУЗЫКАЛЬНЫХ РЯДАХ

Получение ряда (А) из законов I сматривали ряды (А), (Б ) , (А.1), и II, естественно, означает, что ряд (А) (Б.1) . Теперь остановимся на них эти законы выражает . В § 10 мы рас : подробнее. Рассмотрим чистый строй.

16 9

6

7 5

10 7

3 2

15 8 2 (А)

16 15

9 8

4

5 3

8 5

5 4

1

5

3

А

п

-к-—- Р о

Ь П —

9 О — е —

------ |

п —9 —

п

- в - TI -о - ■О-

Р -9 -0 - е - °

«Г

-е-

Я

- в -

-в~ -в -

- е -

1 2м 26 Зм 36 4 5ум. 4ув.

5 6м 66 7м 76 8

Р я д интервал чая и центры S K, равные четным степе- октаву, т. е. два диапазона ( Д и Д ) , ням -^2 (числа 1 и 2), а также прибли- (А) охватывает

зительное выражение нечетных степе-

содержащие каждый по 7 чисел, вклю-