Золотое сечение

Инвариант 1

0,972

0,944

0,894

0,809

0,786

0,764

Инвариант 2

0,728

0,749

0,791

0,874

0,899

0,9256

золотого сечения (табл. 17). Числа ин­ варианта 1 были известны, но здесь получили новое толкование (как чис­ ла SH). Числа инварианта 2 демонстри­ руются впервые. Итак, мы установили три числовых закона гармонии: качественная сим­ метрия, нарушенная симметрия, зо ло ­ тое сечение. Эти законы основаны со ­ ответственно на числах ■>/ 2 , л/3, Ф (см. §12, 20). Поэтому связь чисел д/2, 1,37 и Ф, показанная в этом пара­ графе, означает также связь трех з а ­ конов. Музыкальные ряды Напомним -у2 = а - 11, р = а _10 = У2-а; р 2 = 2 а 2 = а -20. В ы в о д р я д а . Примем а = 1 = а ° . Тогда согласно (16) Ь= 2 = а -22, со­ гласно (39) Ь= а ~ 20. Подставляя в формулу (16) Ь= а -20, получаем а = = а - 2 ; подставляя в формулу (39) а = а - 2 , получаем Ь= а -18 и т. д., под­ ставляя полученное значение b из фор­ мулы ( 39 ) в формулу (16), получен­ ное значение а из формулы (16) в формулу (39), продолжаем: по (16) а = а - 4 , по (39) Ь = а -16, по (16) а = = а - 6 , по (39) Ь = а -14, по (16) а = = а - 8 , по (39) Ь = а -12, по (16) а = = а ~ 10 = р, по (39) Ь= а ~ ,0

2 /л /5 также фундаментально, так как из уравнения Ф2= Ф -\- 1 следует Ф = = ф - 1 + 1 ( ф = 1,618; Ф ~ {= 0,618), т. е. в золотом сечении связь обратных чи­ сел Ф и Ф - 1 имеет важный смысл (тождественность десятичных знаков бесконечных дробей Ф - 1 и Ф) допол­ нительно к тому, что они связаны S K: + 2 —2 Ф _L 1/Ф. Итак, мы получили два важнейших числа Q = 0,944 и 2 /л]Ъ = = 0,894. Возьмем теперь все приведенные выше числа и их инварианты и пре- - 1 образуем по SKв Д; получим 12 чисел МУЗЫКАЛЬНОГО РЯДА ИЗ ЗАКОНОВ I И II Закон II в частном случае можно выразить формулой а : х = х : Ь, (39) где х = х г может принимать значения Р, /, Л* /С- Закон I в частном случае выража­ ется формулой (16) (см. § 12 ) а : х = = х : Ьу где х г= х к= (л]2)п. Примем для формулы (16) х = д/ 2 , для формулы ( 39 ) х = р. Итак, две формулы (16) а / ^ 2 = л]2/Ь и (39) а /р = р /6 — осно­ ва построения соответствующего ряда. 23.

ПОЛУЧЕНИЕ

= Р;тем