Золотое сечение

мощью ряда Фибоначчи, множителя 7 и цифровой симметрии, т. е. множите­ ля 10" (п — целое). Напомним ряд Фибоначчи (см. §20 ) : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... = ф-„, где п = 1, 2, 3, 4, 5, ..., т. е. номеру члена ряда Т, на­ пример, х¥ 1= \, 4^2=1, Чг3= 2, 4^4 = 3, Ч г5 = 5, ¥ 6= 8, 4^7=13 и т .д . Возьмем теперь д/2 = 1,4142135623 ... и полу­ чим его следующим образом: д/2 = = 74 '1- 1 0 - | + 7 4 V 1 0 - | + 7 4 V 1 0 - 3+ + 7Чг4- 10_5 + 7Ч/'5 - 10_7 + 7Чг6- 10_9 + + 7 ^ 7 - 1 0 - " + 7 ¥ 8- 1 0 -" + 7Чг9 X X Ю -" + 7Ч^ю* 1 0 - |2 + 7Чг| | . 1 0 - |2 + + 7 ¥ , 2 -Ю - 13 + 74fi3- Ю"13 + 7 ¥ м Х X 1 0 - 13+ 7 ¥ , 5 - 1 0 - 14 ..., т. е. V2 = = 27ЧГ„• 10* (от числа k , закон изме- нения которого пока неизвестен, зави­ сит получение д/2) . Мы показали связь золотого сечения с ^ 2 и одновременно связь д/2 с числом7, о которой упо- 1 12 3 5 8 13 21 34 Т ’ Т ’ Т ’ ~ 5 ~ ’ ~ 8 ~’ Т з ’ г Г 3 4 ’ 55 ’ — отношения членов ряда Фибоначчи 1 12 3 5 8 13 21 34 ~2 9~3 9 ~ 5 ~ ' 8 " ’ Тз ’ 2 1 9 34 ’ 55 ’ 89 ’ — отношения членов ряда Фибоначчи, Так как Ф_ 1 - | -Ф _ 2 = 1 , то х А = = * г = д ( ф ^ Т ф ^ = 1 = 0,4859, т. е. отклоняется от —= а \ но почти совпадает с а 23= 0,4845 (раз­ ница 0,0014). Центр S K х к= а 22= 1/ 2 - 3 - 2 есть граница Д и Д. Основной центр — SKхк= а ~ 11= д/2 есть граница Д и Д . Пусть а _2 = Ф- 1 , b— з — Ф 2• Най­ дем a+ i и Ь+ 2. По формуле (21) на­ ходим а_|_ 1 = 1,236, 6+ 2 = 1,528, х г = = д/a + i *^+ 2 = 1,374 (см. табл. 16). 190

/о

2 - Л ;2 Л 2 — 1

ф - 1 2 — Ф

Л 2 =

( Ф + ! ) -■ = 1 - 1

(Л 2 + 1 ) - ' = У2 - 1

миналось в § 16. Связь Ф с д/2 видна и из симметрии, показанной в табл. 15. Теперь покажем связь Ф с 1,37. Эта связь не ограничивается только связью с числами К и ц. Из уравне­ ния ф п- \ -фп+ [= ф п+2 следует Ф_1 + + Ф- 2 = 1 и Ф ~ 1/ Ф -2 = Ф, что соот­ ветствует делению любого единичного отрезка по золотому сечению, т. е. име­ ем важный частный случай (качествен­ ное обобщение) золотого сечения. Числа Ф-1 и Ф- 2 являются пределами следующих рядов:

=0,6180... = Ф-1

(Л

(см. § 20); и

:0,3819... = Ф“ 2

(П

-(- 1 = д/Ф-1 *Ф- 2 )- По формуле (21) на­ ходим с _2 = 0,515, с_ 1 = 0,972, с+ \ = = 1,029 и т .д . Инвариант 2: с _ 3/ / ( д / 2 ) - 3 = (д/2Г 7 С - 2 = с _ , / ( У 2 ) - 1 = = д /2 / с + 1 = 1,37. Итак, золотое сече­ ние есть выражение S H- Установлен- 2 взятых через один. Теперь наоборот, найдем а + 2 и b + i. По формуле (21) находим а +2= 1,618, b + \ = 1,309, хг = д/а + 2-6+1 = 1,456. Но 1,456 _L 1,374. Связь Ф с 1,37 ин­ вариантна относительно преобразова­ ний SK. Пусть с_ з = 0,486 ( = х г=