Золотое сечение

Теперь изменим значения / и п (см. табл. 12).

Мы привели два основных случая решения формулы (33) в соответствии с табл. 11 и 12, так как сущность формулы (33) — прибавление числа 2 — в этих случаях выражается в явном виде: число 2 в первой степени при­ бавляется к числам основных диапазо­ нов (диапазонов значений инвариан­ тов) + 1 и — 1, т. е. п = 1 при / = + 1 (табл. 11) и п = 1 при / = — 1 (табл. 12 ). Из последнего решения формулы (33) в соответствии с табл. 12 сле­ дует, что число д/3 лежит в основе закона II. Число г| есть предел ряда V . Сам этот ряд состоит из отношений чисел другого ряда, который обозначим буквой М и зададим рекуррентным соот­ ношением: Mk = M k~ 3 -22— М Ь-б (la), где 6 ^ 7 , т. е. &= 7, 8, 9, 10 ...; М, = 0 , М 2= 1, М з = 1, М4= 2, М 5= 3, М 6= 4. Ряд М изображен в табл. 13. Этот ряд (как и ряды SH) получен автором впервые. Он явно связан с з а ­ коном II, хотя соотношение ( l a ) не зависит от закона II. Ряд М обладает множеством свойств, требующих осо­ бого освещения. Укажем на некоторые

Т а б л и ц а 12

У . . . - 7 —5 - 3 - 1 + 2 + 4...

2

3...

0

1

. . . - 2 - 1

п

Принимая начальное число а = О или а = а } в соответствии с табл. 12 по формуле (33) таким же способом, ка­ ким был получен ряд /, теперь полу­ чаем ряд V. Если в формуле (33) / = + 1, то ряд V будет следующий: 1, 4 /3 , 11/8, 15/11, 41/30, 56/41.. . Ряд V тоже стремится к пределу lim Vmj = ai. гг • I I Л 13 Н” 1 Если i = + 1, то а + 1 = — 2 — = = 1,3660254... = 1,37 = г|. Итак, мы сно­ ва получили число 1,37, причем из той же формулы (33), что и золотое сечение. Это говорит о связи чисел Ф и 1,37. Об этом же говорит и форма представления * л/3-h 1 ^ л/5+1 обоих чисел г] = — и Ф = — .

Т а б л и ц а 13

3

3

3

3

3

I

I I

I I

I I------------- 1 I ------------------ 1

М„

0 1 1

2 3 4

8 11 15

30 41 56

112 153 209

. . .

k

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10

11 12

13

14

15

1

Z________ I 1_______ I ________ I 1_________ I _________ I

I______________ I ______________ I

и т. д.