Золотое сечение

Пусть, например, / = —2, п = 0 и пусть i = j = — 2. Пусть также началь­ ное число а = 0. Тогда по формуле (33) 0 + 2 ° = 1. Преобразуя число 1 - 2 по формуле (21) в Д, получаем 1/2 - 2 (граница Д ) , т. е. / 1 = 1/2 . Пусть те­ перь а, = а _ 2 = 1 / 2 . Тогда по формуле (33) 1/2 + 2° = 3 /2 . Переведем это чис­ ло в Д: 3 /2 _L 27з, т. е. /2 = 2/3 . Пусть теперь а _ 2= 2 / 3 ’ Тогда 2 /3 + + 2° = 5/3; 5 /3 _L 3/5 , т. е. / 3= 3 /5 . Действуя далее таким же способом, по­ лучим следующий числовой ряд /ш: 1/2, 2 /3 , 3/5, 5 /8 , 8 /13 , 13/21,..., который есть не что иное, как отношения чисел ряда Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21..., где каждый последующий член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих, а отношение соседних членов (т. е. ряд / ш) постепенно стре­ мится к пределу — числу Ф, т. е. золото­ му сечению (в данном случае а _ 2= = Ф_ 1= - ^ —- =0 ,618 . . . ) . В общем случае lim f mi = ai. Если / = + 2 , то т —► оо а +2= = 1 , 6 1 8 ... = Ф; = 0,8090... = Ф/2; если / = + 1, то а + 1 =Л / 5 _ 1 = 1,236... = 2/Ф, т. е. во всех диапазонах S K в пределе получаем золотое сечение, выраженное соответ­ ствующим симметричным числом **. 1 Л/5+ 1 если i = — 1, то a _ i = — ^— =

Обобщим формулу (30) рекуррент­ ным выражением: FmJ= (ai + 2й) (33) где Fm,i — т -й член ряда {Fm\ взятый в /-том диапазоне; aj = (F(m^ о. /)/• Иначе говоря, каждый член ряда {Fm) опреде­ ляется как некоторая функция преды­ дущего члена. В частном случае можно принять i = j . Для получения рекур­ рентного ряда (по формуле (33)) бе­ рется начальное числа а = 0, или в об ­ щем случае а = а,\ т. е. любое число, взятое (или преобразованное по S Kиз / любого диапазона) в Д; причем / может принимать только определенные зна ­ чения (через один диапазон в соот­ ветствии с аддитивным принципом октав,— напомним, что октава = 2Д ) , в соответствии с которыми п принимает также определенные значения. В зави­ симости от этих значений мы будем получать по формуле (33) различные числовые ряды. Их будем обозначать разными буквами, т. е. {Fm}= {fm}, {Fm)= {Vm) И Т. Д. Приведем пример получения ряда {fm} по формуле (33)*. Возьмем значе­ ния / и соответственно я, приведенные в табл. И. Таблица 11

- 2

. . . - 6 —4

+ 1 + 3...

/

0

1

2...

. . . - 2 - 1

п

** Заметим, что если принять / = - | - 1 , п = 1 или / = —4, п = — 1, или любую пару в соответ­ ствии с табл. И , то по формуле (33) при i = —2 все равно получим ряд f.

* В дальнейшем ряды будем обозначать буква­ ми без фигурных скобок. Например, ряд /, ряд V и т. д.