Золотое сечение

нечетные степени д / 2 (в табл. 2 — левый столбец, в табл. 3 — правый ) , так и чет­ ные (в табл. 2 — правый, в табл. 3 — левый столбец) с каждым шагом стре­ мятся к пределу (lim х А= х к) , т. е.— соответственно к нечетной и четной сте­ пени д/2, что в Д соответствует числам ( д 2 ) - 1 = 0 , 7 0 7 и (д/2)°= 1,000(границы — 1 Д ) . Совпадение значений хА с этими числами в пределах трехзначности з а ­ канчивается на 13-м и 14-м шаге, т. е. нарушение симметрии, выражающееся в отклонении от единицы отношения х д /Хк (или что то же самое — значения хх в табл. 2 ), количественно с каждым шагом растет (на 13-м шаге х А= = 45,2604; на 14-м шаге хА=64 ,0039 ) , но качественно стремится к минимуму (в Д имеем: 45,2604— 0,7072; 64,0039— 0,9999; см. табл. 2). Так как трехзначность (в смысле трех значащих цифр) является важным свойством к а ­ чественной определенности чисел (в пользу этого постулата мы приведем соображения ниже) , то 7 октав (14Д = = 2 ') приобретают важное значение в качественной симметрии. Любое число можно преобразовать по SK в любой далекий диапазон. Но перенос числа на 7 октав имеет фунда ­ ментальный смысл, так как выражает границы качественной определенности чисел. Возьмем, например, музыку. В музыке 7 октав: расстояние от самого нижнего звука до самого верхнего как раз равно семи октавам. Звуки ниже или выше наш слух уже не различает как качественно разные звуки. Но границы качественной опреде-

ш

I

J

r

^

i

J

J

‘ " г

1

1

1

1

1

д о

д о со л ь

до

ми соль си -бемоль

6. Ш кала обертонов

ленности чисел связаны не только с се­ мью октавами, а по-видимому, вообще с числом 7. И з изложенного возникает любопытный смысл числа 7 как количе ­ ственной меры, ограничивающей к а ­ чественный сдвиг. С этим смыслом согласуются не только 7 октав, но и мно­ гие другие факты, например 7 звуков в гамме, 7 цветов в солнечном спектре, 7 периодов в таблице Менделеева. Ни ­ же мы увидим, что в музыкальных звукорядах 7 основных качеств, что расстояния между планетами солнечной системы обнаруживают строгий поря ­ док и охватывают в целом (от Солнца до Плутона) именно 7 октав и многое другое. Указанный смысл числа 7 проявля ­ ется и иначе — в граничных областях. Возьмем снова музыку. Известно, что каждый звук состоит из множества призвуков — обертонов. Отношения звуков — музыкальные интервалы — бывают двух родов: консонансы (устой­ чивые, гармоничные созвучия) и дис ­ сонансы. Граничная область связана с числом 7, т. е. седьмой обертон — пер­ вый диссонанс, что видно из располо­ жения обертонов (если считать от «до», то первый диссонанс — «си-бемоль») (см. рис. 6 ). Границы диапазонов качественной симметрии также связаны с числом 7. Эта связь (т. е. связь -^2 с числом 7) будет показана в § 22.