Золотое сечение

Д (или с любым значением (У2)", где п нечетно с последующим преобразо- - 1 ванием по SKв Д ), то получим только числа табл. 2. Важным числом следует считать число первого шага 0,943, так как отношение центров S K этого шага равно 1/2, т. е. октаве. Это значит: на­ рушение симметрии в границах октавы, т. е. в крайних границах двух любых соседних диапазонов (например, а = 1, Ь = 2; х к= ^ 1 2 , х А = 3 / 2 ) выразится в от- - 1 ношении х А/ х к, равном в Д числу 0,94281... = 0 , 9 4 3 = -Щ - =q Число q должно иметь важный смысл, так как октава — сущность симметрии. Итак, отношение х А/ х к позволяет по­ лучить только числа табл. 2. Нарушенная симметрия в общем случае (в смысле качественного обоб ­ щения) определяется соотношением ^ г / х а, которое получаем следующим образом. Основной центр S Kопределяет­ ся по формуле (13) х = 2 - 1 / х , откуда jc2= 2. В § 11 мы показали, что сущ­ ность S rопределяется квадратом числа, сущность S A — числом 2. Равенство х 2 = 2 и связывает эти две сущности. Но согласно § 12 более фундаменталь­ ное выражение сущности S A опреде­ ляется числом 1/2. Из этих соображе­ ний связь S r и S A запишем х 2= 1/2 или Хг —fy 2 = 1- Это равенство определяет Хг симметрию (SK) . Нарушение его 1 означает нарушение симметрии, а так как любую сумму частей ( а - \ -Ь ) всегда можно положить равной единице, то число 1/2 можно истолковать как (а-\- Ь ) / 2 = х А у тогда получаем для чи­

сел S нсоотношение х 2/ х А. Обратим вни­ мание, что это соотношение совпадает со средним гармоническим ( х гар) чи­ сел а и Ь. Действительно, из гармо­ нической пропорции

а Т

(23)

х — Ь

0 ab

а + Ь

х 2г

2

- ^

x - X r a p - 2 a + b — а Ь .

так как аЬ = (д/аб)2= л;г2, -а + Ь = Хл.

Отсюда сразу получаем гармониче- 1 , скии ряд чисел ап= — (так как каждый член ряда \ / п равен х гар чисел \ / { п — 1) и 1/(м + 1)), а т акж е— натуральный, В дальнейшем нас 1 . п так как — _L т п ^ 1 будет интересовать качественное обоб­ щение гармонической пропорции, т. е. частный случай х гар при х г= х к. Гармо­ ническая пропорция — второй закон гармонии. Его суть — нарушенная сим­ метрия. Общий вид — выражение (23). В частном случае при х г= х к, х гар= = x l / x A. Но x l = (-^2)2n= 2n и, следова­ тельно, *к/*а ^ х А (24) Тем самым получаем числа обеих табл. 2 и 3. Второй закон так же,как и первый, основан на связи принципов па и апу что ясно из значения 2 ab ab , * г а р = (числитель - умножение, знаменатель — сложение). Рассмотрим глубже закон II. Приме­ ним x rap= x l / x A к симметричным цент- с 1 -г 2а^ рам SK. Пусть x rap = a = с и пусть 175