Золотое сечение

Все они, кроме д/2 у лежат в Д , а чис- /— 2 —1 ло л/2 — - в Д . Будем поэтому рассмат­ ривать обе серии чисел (26) и (27), на- 2 2 чиная с к = 2 , а числа у и У 2 у рас- - 1 смотрим отдельно. Переведя 2 / 3 в Д имеем 3/4. Переведем вторую серию - 1 чисел в Д . Тогда имеем

a = (-\i2)n. b= ( ^ j2 ) ,n. Рассмотрим выра­ жение

2 (д /2 )"-(л/ 2 Г (V 2 r + (V 2 )m ’

(25)

c =

где n , m — целые. Пусть

т и

п — т = 2k, где к <= /V. Преобразуем (25) так:

2 (л/ 2 )" 1 + (л / 2 Г “

C

= 2 (л/ 2 Г _(л/ 2 )п-т

=2(л/^ ^

1+ (л/2)”~ 1 + 2 Так как т — целое, то возможно 2 слу­ чая т = 21 и т = 2 / + 1, где l e Z . Пусть т = 21, тогда (У2)2/ = 2' и с = 2 ' + 1 . (V2T (V2)n' 1+ (л/2)”' 1 + ( V 2 Г Получаем первую серию чисел 2к № 1 + 2 k ’ где k ^ N , т. е. числа 2/3; 4/5; 8/9; 16/17 ... Все они, кроме 2/3 , лежат в - 1 - 2 Д , 2 / 3 — в Д . Пусть теперь т = 2 / + 1 . Тогда

где k ^ N \ k ^ 2 . Первая серия чисел - 1 при к ^ 2 лежит в Д . Поэтому окон­ чательно имеем:

(28)

1+ 2"

V 2 - 2 - и с ф =

,

(29)

(26)

где к ^ 2; k ^ N . Обе серии чисел (28) и (29) выписаны в табл. 4 и 5. Эти серии сформулированы для получения чисел S H в Д. В н и х член 2к фактически - 1 означает преобразование по S K в Д члена 1+2". Поэтому общие формулы для чисел 5 Нзапишем так:

с = 2/ + , . у 2 (V2Г

1 + (л / 2 Г — т

(л/2Г 1 + ( л / 2 Г

(30)

с< 1 > , = ( 1 + 2 *),

- л/2

или

С< 1 > ,-= [-у/ 2(1 + 2 *)]

(31)

(27)

сф = л /2

1 + 2 k ’

где к — целое, i означает: число, полу­ ченное в скобках, следует преобразо-

где fce/V, т. е. числа V2y i Л'2-^; л/2-§

176