Золотое сечение

торого видно, что диапазоны SK соот­ ветствуют полуоктавам. Основные инварианты S K. Из фор­ мулы (21) следует: 1) отношения сим­ метричных чисел к границам собствен­ ных диапазонов (связанных S K(д 2)/2 -L JL (V2)/") равны в случае переносной и переносно-зеркальной симметрии и об- ратны в случае зеркальной; 2) отноше­ ния чисел одного и того же диапазона инвариантны относительно преобразо­ ваний SK в указанном смысле. Мы сформулировали три инвариан­ та. Инвариант 1: а//(У2)? = а//(У2)/\ где cii— a ,■ или щ = (л[2)е, где е — целое и а//(л/2)? = (л/2)Г/в/. г^е -L ah в обоих случаях и я, и m четно; если же и я, и m нечетно, то имеем инвариант 2. Инва­ риант 3: ai/bi = a j / b h где а/— а/ и ai/bi = b j /a ji где a, _L щ. Запись инва­ риантов покажем на примере инва­ рианта 3: а - з / Ь - з = Ь - 2 / а - 2 = = a _ i / f t _ i = & + i /a+ i . . . Значения инва- + 1 -1 риантов попадают только в Д или Д . Общие определения инвариантов. Инвариант 1 есть отношение любого числа к четной границе собственного диапазона или к любой четной границе с последующим преобразованием по S K. Инвариант 1 совпадает с S K, что следует из формулы (21) . Инвариант 2 есть отношение любого числа к нечет­ ной границе собственного диапазона или к любой нечетной границе с по­ следующим преобразованием по S K. Инвариант 3 есть отношение чисел од ­ ного и того же диапазона.

14.

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

СИММЕТРИИ ЧИСЕЛ. ЦИФРОВАЯ СИММЕТРИЯ

Симметрию (аналогичную S K), основанную на связи принципов па и ап можно построить в общем виде. Если в выражении (15) число 2 заменить на га, то формула для центра общей числовой симметрии будет: х _т= т п- \ / х , (22) откуда хг= (д/га)", где п — целое, m определяется в каждом случае. В соот­ ветствии с формулой (2), т. е. с совпа­ дением тождеств ( А = А П) га может при­ нимать только два значения m = 1, т = 2, так как уравнение (3) ап= па при а = п имеет следующие два реше­ ния: а = п = 1; а = п = 2 . Если т = 1, то х Г= \ , получаем частный случай S г, т. е. симметрия, основанная на свя­ зи принципов па и а г\ построена быть не может. Если т = 2, имеем S K. Сим­ метрия, построенная на любом другом числе (при т ф 2 и следовательно при А ф А П), будет соответствовать только формуле (1). Предполагая десятизнач­ ную систему фундаментальной, можно принять т = 10, а значит, x r= (-\i\0)n и, следовательно, числа 10я, где п — це­ лое, считать различающимися только по масштабу. Такая симметрия будет вы­ ражать сохранение определенного при­ знака — порядка расположения цифр в числе (цифровая симметрия), тогда как S Kвыражает принцип сохранения (или закон устойчивости) как таковой, так как основана на формуле (2) А = А П. Поэтому S K есть качественное обобщение симметрии. чисел