Золотое сечение

“Г аГ гС

0

9

Ф ь

-1

-2

-м

+2

1/2 (V/2Г2

1

2 (V2)2

(v/5)1

(V2)-1

1,236

0,618

1,618

0,809

P До

a =

Фа#

Фа*

До

До

c = ci; если b = bo, то с = с 2. Значения к и п определяются выражением (20); удобнее их брать из (19). Преобразования S K образуют груп­ пу, так как удовлетворяют всем требо­ ваниям четырех аксиом теории групп. Приведем примеры: 1) пусть а +2= = 1,618 (золотое сечение). Найдем а_ |. Из (19) k + 2 = — \, 2 = 4 - 1 ; k - \ = — \, п - 1 = 0 . Теперь по формуле (21) находим а_ 1=0 ,809 . Найдем так- + - же 1 , а _ 2, а _ 3, а _ 4...: __ L 1,618 J_ _L 1,236 _L 0,809 ± 0,618 _L 0,405 _L - 4 _L0,309 _L ..., т. e. золотое сечение может выражаться не только числами 1,618 и 0,618, как принято; 2) при переносно-зеркальной симметрии дан­ ное число а = х к и / может принимать по два значения, соответствующие но-

4. Сравнительная иллюстрация преобразований качественной симметрии. Пусть вертикальные линии обозначают пло­ скость скользящего отражения , переводящую л е ­ вую фигуру в правую, правую в левую и т. д. , и пусть эти фигуры согласно качественному р авен ­ ству дополнительно увеличиваются так, что к аж ­ дая левая и кажд а я правая больше предыду­ щей соответственно левой или правой в 2 раза . Тогда под каждой такой плоскостью можно под­ писать числа, соответствующие целым степеням V2. т. е. плоскости и фигуры заменяются числами, а отражение в плоскости — преобразованием чи­ сел по формуле (21). На рисунке приведен при­ мер преобразования по формуле (21) золотого числа Ф~ 1= 0,618 в диапазоны —2, — 1, + 1 , -J-2. Из рисунка видно также , что диапазоны каче­ ственной симметрии соответствуют полуоктавам мерам двух соседних диапазонов, гра­ ницей которых является данное л'к. По формуле (21) найдем а _ 2 при дан­ ных а + ,= ^ /2 и а + 9 = л/2- В обоих слу­ чаях а _ 2= (д/2)_ *. Пример, наглядно иллюстрирующий преобразования S Ky см. на рис. 4, из ко­