Золотое сечение

метрию арифметическую ( S A) и геомет­ рическую ( 5 Г). Преобразование по А А S A будем изображать так _L , т. е. a_Lft, что означает: а преобразуется в Ь отно­ сительно центра х А= ( а + Ь) / 2. Пре­ образование по S r— знаком _1_ без дополнительных обозначений, т. е. a J - b (а преобразуется в b относительно центра x r= ^]ab). Следует отличать запись просто геометрической сим- i ! метрии a_L Ь от качественной a _L b (или -ь1 a,_La,). Теперь возьмем в Д число а и преобразуем его по SK в другие диапазоны:

4) переносно -зеркальное — в слу­ чае, когда заданное число а = (л]2)п. В этом случае Р всегда четно и имеет место совпадение переносной и зеркаль­ ной симметрии, т. е. соотношение: (л/2У— (л/2Г Равно (V2)f±(V2)f, (18) если и п и т одновременно четно или нечетно; 5) тождественное — при четном ко­ личестве зеркальных преобразований относительно одного и того же центра S K, например: Ъ/2 _L 4 /3 , 4 /3 _L 3 /2 . V2 У2 Кроме S к выше мы разбирали сим­

+ 6

+ 7 ± а • 2 3 J___

+ 4 + 5 • 2 2 ± а • 2 2 -L а

+ 1 + 3 ± а • 2° ± а ~ ' - 2 ± а - 2 + 2

(19)

— 1 — 7 а~ ' ■ 2° ± а • 2 “ ' ± а ~ ' ■ 2 ~ 1 ± а • 2 “ 2 ± а ~ 1 • 2 ~ 2 ± а ■ 2 ~ 3 ± а ~ ' ■ 2 “ 3 ± . . . Отсюда видно: преобразования S Kимеют простейший вид: а ± а к-2п, ( 20 ) —2 —3 - 4 - 5 —6

ki = kj = + 1 или — 1; 2) зеркальное тогда а , . а, = 2п= 2П[ + л/, откуда а,- = 1/ а уX Х 2 л/+ л/; здесь \/cLj = a f x= a f l'ki, так как в этом случае или k i= — 1, а k ,= = + 1, или наоборот. Отсюда следует общая формула для любого а, (или закон I): щ = аьг 2е, (21) где b = k i - k } и может принимать только два значения: b i = + l, b

где /г= + 1, — 1, чередуясь в каждом последующем диапазоне, п — целое, меняющееся через диапазон на едини- цу. Если для Д k = + 1 , п = 0, то име­ ем выражение (19). На основании изложенного выведем общую формулу преобразований, по­ зволяющую из любого числа а, полу­ чить любое щ. Для этого проанализи­ руем два основных преобразования, определяющие качественную симмет­ рию: 1) переносное ау— а,; тогда a , /a y-= = 2 п = 2 ni ~ ni y откуда ai = a r 2 ni ~ ni\ здесь aj = a ^ 1 = a p ’kiy так как в этом случае