Золотое сечение

в выражение (11) имеем: а \ 2 а . . . . —- = -— -------------------- или — = — ,(14) л/2 2 - 1 / а у 2 b так как 6 = 2 - 1/а. Эту симметрию на­ зовем качественной (SK). Выражение (14) — основной вид S K с центром x r= V2- Центр S K обозначим хк. Общая формула для хк в соответ­ ствии с (9) и (13) будет х = 2п• \ / х , (15) откуда х = (-\12)п1п — целое. Итак, каче­ ственная симметрия есть геометриче­ ская симметрия а / х = х / Ь у (16) когда х г= ^ аЬ = х к= (л]2) ", где п — целое. д/2 в том и только в томслучае,

научное понятие. Октавой будет назы­ ваться отношение чисел 2:1. Качественное равенство — основ­ ной постулат теории. Оно содержит в себе качественное обобщение симмет­ рии, так как размножает пропорцию симметрии в каждой половине, четвер­ ти, восьмой и т. д. целого, а также я в л я ­ ется качественным обобщением равен ­ ства вообще , так как содержит число 2, скрытое в любом равенстве и тожде­ стве; если с = а-\-Ь и а = Ь , то с = 2а. Формулу (9) можно интерпретиро­ вать двумя фундаментальными явле­ ниями: 1) делением клеток (пополам) в биологии; 2) октавным подобием в музыке (см. § 10). Качественная симметрия ( S K). Уста­ новим общий случай связи обратных чисел с числами 2П, т. е. связь 5 Г и S A. Изобразим S r ( a / x = x / b ) в виде двух тождеств, показанных выше. Общий случай <12) Связь выражений (10) и (12), или обобщение S Aи S r, возникает, если для х г выполняется соотношение х +1— х -1 , что в соответствии с (10) означает х + , / х _1 = 2, или х = 2 • 1/х, (13) откуда x = V2- Подставляя значение х Важный частный случай т = ж -

13.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

КАЧЕСТВЕННОЙ СИММЕТРИИ И ЕЕ ИНВАРИАНТЫ

Числовые интервалы на числовой оси между двумя соседними степенями У2 назовем диапазонами SK; степени У2 — границами диапазонов. Четные степени V2 назовем четными граница­ ми (или четными центрами S K), нечет­ ные — нечетными. Слова «такой-то диапазон» обозначим Д или А , где / или / — номер соответствующего диа ­ пазона. Пусть имеем:

- 3

- 2

- 1

+ 1

+ 2

- - (л /2 )"2 - (л /2 ) -1 - (л/2)° л/2^ Числа вверху ... —3, —2, — 1, + 1 , + 2 ...— номера диапазонов. Пусть чис- -