Золотое сечение

метрии: 1/2, 2, 1 ( а / с = Ь / с = 1/2; с / а = с/Ь = 2; а / b — b/ а = 1). Докажем, что 1/2 — основной коэффициент. Пусть в выражении (8) с = 1; тогда х А= х г= \ /2; а = Ь = а / с = Ь / с = 1 / 2 , т. е. значение части совпадает со значе­ нием центров симметрии и с величиной отношения части к целому, что свиде­ тельствует о связи частного и общего, т. е. о качественной связи. Этим свой­ ством обладает только число 1/2. Но условие с = 1 уже предполагает значе­ ние частей, взятых в отношении к це­ лому, и относится не только к пропор­ ции симметрии, но к любой сумме как абстрактному целому. Качественное равенство. Выражение (8) связывает S A и S r. Вопрос: какова при этом роль чисел 1/2, 2, 1? Как мы показали, важный частный случай S A связывает числа вида ( + а) и ( —а), важный частный случай S r связывает обратные числа ( а +1 и а - 1 ). Обратим внимание, что коэффициен­ ты пропорции симметрии представляют собой две пары обратных чисел 2 и 1/2; 1 и 1_ , = 1. Выясним их смысл по от­ ношению к S A ( a — x = x — b): 1) если а = 2 , Ь= 1 / 2 , то х А= (а - \-Ь )/2 = 5 /4 = = 1 + 1 / 4 . Числа 1 , 1 / 4 , а также 1/2 и 2 есть целые степени числа 2; 2) если а = 1 , Ь = 2 , то х а= 3/2; если а = 1 , Ь= = 1 / 2 , то х а= 3 / 4 . М ы заменили число 2 на обратное, а значение х А уменьши­ лось в 2 раза; 3) если а ф Ь , но с = 1, т о х хФ 1/2, х А= с / 2 = 1/2. Следователь­ но: 1) числа 2п (где п — целое) имеют чисто арифметический смысл; 2) слу­ чай х г= х А (пропорция симметрии) есть важный частный случай связи обратных чисел с числами 2п\ 3) случай с = 1,

как уже говорилось, раскрывает качест­ венный смысл числа 1/2, а это и есть арифметический смысл, соответствую­ щий принципу па. Если мы выделим арифметический смысл и рассмотрим пропорцию симмет­ рии в динамике, то получим симметрию как размноженное качество. Коэффи­ циентами этого множества будут числа 1/2, 1/4, 1/8,..., т. е. целые степени числа 2, так как только этими числами целое можно разделить арифметически строго симметрично (деля каждую по­ ловину пополам, каждую четверть по­ полам и т .д . ) . Разножение коэффици­ ентов симметрии произошло путем деле­ ния пополам, т. е. с помощью коэффи­ циента 1/2. К этому глубокому смыслу числа 1/2 (связь с целым) мы вернем­ ся в § 15 и 21. Сейчас остановимся вообще на числах 2Л, выражающих качественный смысл симметрии. С точ­ ки зрения этого смысла, числа 2п равно­ ценны, что позволяет сущность S A обоб­ щить формулой качественного равен­ ства а— 2"а, (9) где п — целое, символ — означает «качественно равно». Качественное ра­ венство обладает следующими свойст­ вами: если а— b , то b— а , если а— b , а Ь— су то а— с. Важный частный слу­ чай а— 2 а - (10) основа всех случаев вида (9) — мини­ мальный интервал качественного ра ­ венства = 2 = о к т а в е . Это означает, что октава — сущность симметрии. Мы ввели понятие «октава» как