Золотое сечение

3. Пр яма я выр ажае т аддитивный па, кривая мультипликативный а" принципы

симметрично числу ( — а) относительно хА= 0, т. е. данный частный случай S A связывает положительные и отрица ­ тельные числа. Введем общее правило преобразо­ вания чисел. Симметричным преобразо­ ванием назовем такое преобразование, которое переводит данное число в сим­ метричное ему число. В нашем случае это означает замену знака плюс на ми­ нус (или наоборот) у числа а. З ам е ­ няя число ( — а) на ( + а ) в выражении а — а = 0, которое следует из форму­ лы (5) (так как Ь = — а) , получаем а + а = 2а (т. е. принцип па, при п = 2). Теперь покажем, что формула (5) — основа всех случаев (качественное обобщение) формулы (4) а — х = х — Ь. Здесь Ь= 2х — а; из тождества а — х — х — (2х — а) видим, что связь числа ( + а ) с числом ( — а) сохраняет­ ся для всех случаев формулы (4). Кроме того, замечаем (в последнем тождестве) у числа х постоянный мно­ житель 2. Таким образом, сущность S A основана на принципе па, при л = 2. 2. Геометрическая симметрия (S r) a : x = x : b . (6) Примем в выражении (6) х = 1, получим важный частный случай S r: а:\ = \:Ь. (7) Здесь Ь= — \ из тождества а:1 = 1:— а а

сумма (па) есть абстрактное целое в соответствии с абстрактным тожде ­ ством А, реальное целое выражается уравнением (3) в соответствии с тож ­ деством противоположностей А П; в ч а ­ стном случае при А = А П, соответствую­ щем формуле (2) , сумма и целое сов­ падают. Математическая трактовка форму­ лы (2). В § 10 были, в частности, приведены следующие две пропор­ ции: 1) арифметическая а — х = х — Ь, а+ ь где х А= —^—i 2) геометрическая а / х = х / Ь , где x T= ^ a b . Последняя бы­ ла истолкована как геометрическая симметрия. То же можно сказать и об арифметической пропорции. Таким об ­ разом, обе пропорции можно истолко­ вать как две симметрии, считая числа а и Ь симметричными относительно числа х, которое назовем центром симметрии и обозначим соответственно х А и х г, как показано. Докажем, что эти две симметрии основаны соответственно на принципах па и ап. 1) Арифметическая симметрия ( S A) а — х = х — Ь. (4) Пусть в формуле (4) х = 0, тогда имеем важный частный случай S A: а —0 = 0 — Ь. (5) Здесь Ь = —а; из тождества а —0 = 0 —(— а) видим, что число ( + а )