Золотое сечение

20 21/ 12 22/I2 23/l2 24/l2 25/l2 26/l2 27/12 28/12 29/12 2 10/l2 2 11/12 2 12/12

( Б)

Каждый из этих рядов выражает гео­ метрическую пропорцию а / х = х / Ь , где x r= ^Jab = ^l 2, а и 6 — два любых члена ряда (А) или (Б ), расположен­ ных симметрично относительно его сере­ дины. Эту пропорцию можно истолко­ вать как геометрическую симметрию, приняв x r= ^ a b за центр симметрии между числами а и Ь. Указанная сим­ метрия связана с октавным подобием — фактом чрезвычайно важным в музыке. На основе этого факта возникла идея качественного равенства чисел, так как Эти неполные «нарушенные» ряды (без октавы) состоят из 12 основных ка­ честв в соответствии с музыкой. Опре­ делим х г= л/аЬ, где а и Ь — два любых члена ряда (А .1), распо­ ложенных симметрично относительно его середины; получим шесть значений, усредняя которые, имеем среднее х г= 1 ,3 7 . Аналогичный центр в ряде (Б.1) х г также равен 1,37 (подробнее см. § 2 4 ) . Напомним, что аналогичный центр в рядах (А) и (Б) хг= л/2, т. е. симметрия этих рядов в рядах (А.1) и (Б.1) нарушилась. Мера этого наруше­ ния 1,37/V2 = 0,969. Если число У2 есть среднее пропорциональное (т. е. общее) между октавноподобными членами, представляя собой обобщение полных рядов (А) и (Б ), то число 1,37 есть более глубокое обобщение, так как свя­ зывает неоктавноподобные члены, т. е.

мелодию можно переносить из октавы в октаву без изменения ее качества. Октавные звуки качественно равны (до- до', ре-ре' и т. д .), их отношения — це­ лые степени числа 2. Рассмотрим глубже ряды (А) и (Б ). Оба ряда содержат повторение качеств, так как содержат октаву, т. е. числа 1 и 2. Исключим из этих рядов о Ю* повторение качеств — числа 2 и — . Ряды примут вид: разные качества. Эта связь — целост­ ная, так как в обоих случаях обобще­ ние качественное. Отсюда можно пред­ положить, что нарушенная симметрия и связанное с ней число 1,37 имеет в музыке фундаментальное значение. Теперь отвлечемся от музыки и об ­ ратим внимание на аналогичные проб­ лемы в естествознании. Бросается в гла- hc за известное в физике число = = 137 (137 = 1,37 -102; ниже покажем связь чисел 137 и 10). Это важный факт. Безразмерное число 137 связано с целостностью мироздания, так как есть отношение фундаментальных кон­ стант. П. Дирак относит проблему чис­ ла 137 к «трудности первого класса». (АЛ) (Б.1)

1 16 9 6 5 4 7 3 8 5 16 15 lsIiTIIillil 20 21/12 22/12 23/12 24/12 25/12 26/12 27/12 28/12 29/12 210/12 2|,/|2

* Снятие числа

объясняется в § 24.