Золотое сечение

деле О ^ я ^ о о и 0 ^ az ^ — оо. Помимо ответа на поставленный уже вопрос мы увидим много неожиданного и край­ не интересного. Все эти симметрии показаны на рис. 49 и 51, построение их не пред­ ставляет сложности и осуществляется по той же схеме, что и построение квадратичных симметрий. Условие R = |S"| строит S -симметрии, условие R = \U n \ строит (/-симметрии. Рассмотрев развертки, показываю­ щие метаморфозы каждого из видов симметрий (см. рис. 49), и шкалу сим­ метрий, где каждый вид показан в про­ цессе его изменения в отношении точки начала (см. рис. 51), мы можем сделать следующие обобщения. 1. Если коэффициент пропорцио­ нальности меняет величину, оставаясь в пределе действительных чисел ( 0 < я < оо и 0 > п > — о о ) , граничная поверхность экспансии непрерывно ме­ няет конфигурацию, но сохраняет це­ лостность, заключая в себе, как в обо ­ лочке, некий объем. Исключение со ­ ставляют + /(У-, S -симметрии ( п = - |-1 ) . В этом случае замкнутого пространства экспансии не существует. 2. Такая же в принципе картина, что и при / 2 = + 1, возникает в экстре­ мальных случаях, когда я = ± о о и когда п = 0 (в последнем случае только для У-симметрий). Трехмерного про­ странства не существует. При п = оо симметрии ± Uy S пред­ ставляют каждая два образа. Гранич­ ная поверхность пространства экспан­ сии свернута в две замкнутые окруж­ ности. Одна, радиусом 2, удалена от точки начала в бесконечность, вторая, радиусом д/3, отстоит от точки начала на расстоянии (см. рис. 51). При п = 0 образы симметрий U и S различны. Каждая из симметрий ± LJ представляет сферу, сложенную вдвое так, что возникла полусфера, охваты­ вающая нулевое пространство. Диа ­

метр ее 2, высота 1. Симметрии ± S представляют сферу диаметром 2, в центре которой — точка начала. Про­ странство замкнуто, но с дефектом граничной поверхности: в зените сферы есть прокол нулевого сечения (экспан­ сия вдоль вертикали при а = 0 и (3= 0 равна 0). До сих пор мы неоднократно наблю­ дали, как проявляется двойная дихото­ мия в структуре уравнения экспансии, в свойствах золотых чисел, в струк­ туре модели. Обнаружим теперь двой­ ную дихотомию в структуре шкалы симметрий. Покажем, что шкала, пред­ ставляющая + и — симметрии и (У- и S -симметрии, дважды разделена попо­ лам величиной коэффициента пропор­ циональности. Первая дихотомия про­ исходит при п = 1; при этом все сим­ метрии разделены на ветви: верхнюю (м < 1 ) и н и ж н ю ю ( л > 1). Вторая дихотомия происходит при п = 2 ± \ т. е. осуществляет закон квадратов. Первая дихотомия. Для каждого числа A i d находится обратное ему число 1- Д ля любой симметрии ± nS находится геометрический образ, являющийся ее зеркальным отображе­ нием,— симметрия ±i/nS. Плоскость симметричных отображений горизон­ тальна и сдвинута в отношении точки начала на . Число симметрий S верх­ ней ветви равно числу симметрий S нижней ветви. Следовательно, при п = 1 шкала симметрий разделена пополам (см. рис. 49, 51). Рис. 51 позволяет наблюдать, что в точке, заданной условием п = 1, шкала симметрий (средняя строка) делится пополам: из этой точки берут начало две зеркально отображенные друг в друге ветви шкалы S. Более того: шкала разорвана здесь на две части буквально, так как при п = + 1 нару­ шился плавный ход метаморфоз зам­ кнутых пространств экспансии. Симмет-