Зодчий 1886 год

—

5 1

-

I г

•/.„- sm a cos a

1 2 2 е' •

- \

( 7 3 )

Аа

tga LЛ а — Л а

Мы получим ъ

( 7 7 )

7

C O S

. „ ^ , ( 4 s " - 3 ^ ^ . i : ) + F ( a „ X O )

^ Л _ д , ( D A

D ( Л OT TG А ) =

При этомъ :

C0S2 СО

Д А '

и отсюда , интегрируя : /• Д о D A

= Аа„ tg А„ + F ( А„ х . ) — Е (« о

(74)

е ' = — ^ + к ( « О - / О) — Е (а„ хо ) cos 9о

( 7 8 )

C OS

А

Поэтому , длин а дуг и половин ы аклиноид ы будетъ : S = с

S M А „

+ _ С О О^ c o s' ТО

1

Е ( АО П О) + 2

F ( A „ X O ) 4

Е =

L c os ф „

C O S AO cos9 o

(75 )

tg A O +4 cos •:o = x 'O = — = 2 , 3 0 2 5 8 5 1 - p С (no уравн . ( 7 0 и 6 3 )

I I I. ІВычислені е интеграла : 8 2 = /

F J ^ P D C. P

Сообразн о уравн . ( 5 8 и GO) имѣемъ; 9р 9 п / / ' / S, = J р-г) . 71 (19 = J с- sec ' 9 . 2 ] / 1

log 2 , 8 0 2 5 8 5 5 1 = 0 , 3 6 2 2 1 5 7

с

tg 90 = cos TO tg AO 1

' f ^9

+ 2 2

' о

о

L OG 0 , 1 8 8 6 1 1 7 1 = 0 , 2 7 5 5 6 8 6 — 1

Н = , 0 , 1 8 8 6 1 1 7 Ц - ^ ] T :

9о

.

-

-

С = log X(лог . Бригга )

= c^z у

( l - B T G >,

| ^ T G > ) . D ( T) ^ 9

} /

и, подставля я изъ уравн . (G9) : ' / ' % = z\J у ( 1 +

= толщин а свод а въ замкѣ, 84 =толщ. въ пятахъ , о,„ = -—(о - {- о ,)

i g 2 А ) ( 1 + t g 2 « ) D ( T G A )

1 4 - m

ОО

01

= т ,

о™ = —

о, л Прежде , нежел и приступит ь къ разсчет у численнаг о приыѣра , предпошлем ъ нѣкоторы я указані я на опредѣлеві е функці й F (OA X) O и E ( A O x j . Изъ обоих ъ методов ъ превращені я эллиптическо й функці и F (OA )X O въ другу ю съ меньшим ъ модулем ъ и съ больше ю ампли ­ тудою и обратно , основанных ъ на подстановк ѣ Ландена , восполь ­ зуемся первым ъ *) , по которому : . -.г/ • \ F ( A N sin Т " ) , / " C OTS C O SAT C O S TS ... . cos' ТП-"і ' F ( AO X O) = F ( AO sin Т О) = ^ п У ^ ^ т ^ " При этом ъ sin т, sin АТ зіп тз . . . . si n TJN _ прсдставляют ъ убыва - ющіе модули , опредѣляемы е из і уравяені й s in ""i = У- G* О"^ ; sm JT = У tg ' ,T ; s in T3 = —ig'''^... Возрастающі я амплитуды , соотвѣтствуіощі я этим ъ модулям ъ опредѣляіотс я изъ уравнені й TG («1 — «о) cos т„ tg а„; TG ( « О — A J ) cos т, tg A , , TG (« 3 — «2 ) cos T , tg A , . Опредѣлив ъ таким ъ образом ъ значені я убывающих ъ модуле й до si n тп , которы й можн о было бы положит ь съ достаточно й точ ­ ностью равным ъ нулю , мы имѣемъ:

откуда , послѣ простог о преобразованія :

S„ = z^c / '

^

J cos* A

Вспомогательно е уравнені е для интеграл а J' —7 -^1 въ кото ­ ромъ п — четно е числ о (при нечетном ъ значені и и этот ъ интеграл ъ не будет ъ эллиптическимъ) , получается , дифференциру я выраже - ніе ^"' „^д причемъ , кромѣ уравн . ( 7 3) пмѣем ъ еще

ХО '^ = 1 —

= 1 —

V

( C O^S А - | - S I N' А ) =

Д ' А —

ХЦ^ C O S' А

Да

1

1

Д ' А —

X 2 C O S ' TP

ХО ' " ' Д а сов^-^ а

да сов

а

х' ^Д' а cos ° - ' а

х»/ ens""' а

Таким ъ образом ъ Да TG а- . C 0 S2 а J О Т К У ДА интегрируя ;

Д А D A _ 1 - J - х ^/2

Д А D A

ХР ^

D A

=

3

X O ' д а

e n s'

cos'^a

A

«и

А„

І + Ѵ^

3

. ^дЛ^^

Aa^tga,

/ ' А а Д « _V р ( „ ^

cos* A „ - x ^ cos - A х ^,2 Сообразн о съ уравн . ( 7 4) имѣем ъ окончательно ! cos= „A

F( о„ si n т„ ) =

—

П(Х

т -

=

/

,

—

./ V 1 •;— о п Т П sm ' а

1 - ^ V'

/' J

z^ c

' ' " Да « TG ао — Е (а„ х „) + 2 F (а „ х „ )-

( /

О

I . . . Е ( А О 8 І П) Т=О ^ і Л

COST, cos T3 . . . . co s T „ „ .

c o s '^

2"

S C O TO Тогда для эллиптическо й функці и второг о рода имѣемъ:

А«„ t g а„ c o s^ а „

( 76 )

Въ уравн . ( 7 5 и 7 6 ) выражені е Да^, должн о быть замѣнен о че ­

F ( А О Х О| ) 1

4 -

V

I I . . . . Е {(ХоУ.о)=

-•'^о'—

" 8

X'

1

C OS А ,

причем ъ получимъ :

рез ъ

X , sm а „

>t , •'«2 •''•3

Y ' - ' - O Y - ', ' - s m a , + — х „ > / х,

cos 9о

—

Y G

+

А О T G ОО = -

и

Д

COS 90 T G A„

Д «о T G

гдѣ X= O si n T, O, X = si n T и Т. Д. суть убывающі е модули , Для примѣра , опредѣлим ъ величин ы F ( А О х») и Е ( А О Х О ) ' д ал углов ъ АО = 7 8 ' ' 2 7 ' 4 7 " и ОХ = si n ОТ = si n 7 3 о 2 0 ' 5 4 "

COS «и co s «о COS 9u Послѣ нѣскольких ъ простых ъ преобразовані й получаем ъ слѣ - дующую формул у для сжаті л к' :

*) Schlomi lch , Compendin m de r hohere n Analys i s , 1886 . I I 298—308 .