Зодчий 1886 год

4 5

центромъ вращенія прямой аЬр, слѣдовательно , соединпвъ точки о TS. р, проводимъ въ точкѣ р перпендикуляръ къ прямой ор, ко­ торый п представитъ искомую касательную. Фи.г 4.

Первыя два уравненія не приводятъ, въ чемъ весьма легко убѣдиться, ни къ какому результату, так ъ какъ, прираваивая ихъ уравненію кривой, получаемъ, мелсду прочимъ, условіе: (1—m) * (l + m)'' = (P + m'r что, очевидно, возможно лишь при 1 = 0 или т = 0. Два вторыхъ уравненія , напротивъ того, даютъ: (1 — т)^ у* + 2(Р + тО у х^- + (1 + т)^- х* + 2( Р - т ' ) (т= —г^) у^ -

Так ъ как ъ начало координатъ представляетъ въ то же время центр ъ кривой, то цроходящія через ъ него касательныя къ кривой суть непре- мѣнно двойныя касательныя . Такихъ касательныхъ двѣ и онѣ удовлетво- ряютъ условію _ 1 +( m) г Двѣ другія двойныя касательныя параллельны оси абсциссъ и лежатъ отъ нея на разстояніи О + га)

—2(1 + т)^ (m»+r' ) X" + (1 + m') (m»—r')» = A=, A ,' y* + + (A", B„^ + А / B,=) y ' x' + В / B„^x* + A»j A," ( В / +13,0 y» — — B j ' " B/ ( А / + A„ ' ) X» + A , .' А / . B j ". В^.» Откуда вытекаютъ слѣдующія условія: (l + m)4m^- r : ) :^j3^.3^ .

(1 - т ) '

Р)

( р - - m ^ K m ^ ) __ (1 + m)' - ^ (l + m)^(m=+r') _ (l + m)=' ~ ^ ^( lH-m^_^ А ^ . А , ' В / В,^

т )

^ >

Такъ какъ разсматриваема я кривая представляетъ собою кри­ вую четвертаго порядка, то слѣдовательно , она всегда имѣетъ четыре общія (мнимыя) точки съ безконечно продолженными пря­ мыми линіями. Уравнені я этихъ прямыхъ, проходящихъ через ъ начало координатъ (и нормальныхъ воображаемымъ ассимптотамъ ) будутъ факторами уравненія , получаемаго изъ уравненія (5), сохраняя въ немъ лишь высшіе члены, а именно: (Г- — т^) у* + 2 (1 + m) (F + ю^) у^х^ + (1 -|- т ) = О . . (6) Уравненія эти, слѣдовательно , будуть: l + m у = =ьі . х и у = = 1. . X 1 —m Мы видимъ, что этп выраженія не зависят ъ отъ величины г, откуда слѣдуетъ, что всѣ кривыя, описываемыя точкою р, прой- дутъ через ъ 4 безконечно отдаленныя воображаемыя точки, при различныхъ радіусахъ направляющаг о круга К. Уравнені е (6) мы можемъ написать въ видЬ (х^- + у^) [1( — m) Y- + О + га) V -] = О, откуда мы видимъ, что: a) всѣ четыре ассимптоты, а также всѣ четыре безконечао удаленный точки — суть воображаемыя . b) Что двѣ изъ этихъ ассимптотъ согласуются съ ассимптотами круга х- + у- = О или, другими словами, что кривая проходитъ через ъ четыре точки круга безконечно большого радіуса и пред­ ставляетъ, такпмъ образомъ, круговую кривую четвертаго порядка. Теперь рѣшпмъ вопросъ, не можетъ ли при извѣстныхъ усло- віяхъ уравненіе кривой четвертаго порядка состоять изъ двухъ факторовъ втораго порядка, т. е. другими словами, не будетъ ли въ пзвѣстномъ случаѣ пзслѣдуеиая . кривая состоять пзъ двухъ коническихъ сЬчепій. Съ перваго же взгляда видно, что подобный случай супі;е- ствуетъ тогда, когда 1 = г, так ъ как ъ тогда каждый радіусъ направляющаго круга К представляетъ положеніе для непзмѣпяе- мой величины т между К и XX, и часть геометрическаг о мѣста есть очевидно концентрпческі й съ направляющимъ кругомъ К кругъ ІГ, , радіусъ котораго равен ъ (l + m). Тогда слѣдующее геометрическое мѣсто, проходимое точкою р будетъ непремѣнно кривою второго порядка. Сотвѣтственныя этому случаю уравненія опредѣлятся слѣдую- щимъ образомъ: вслѣдствіе симметричности общей кривой относи­ тельно координатныхъ осей, уравненія частныхъ кривыхъ должны имѣть видъ:

8)

-5)

Изъ ѵр . (р) u (о) слѣдуетъ:

A,= = (ro + r) ' и A '. = (m - г) '

Изъ ур. (а) И {'О слѣдуетъ:

Подставляя эти значенія въ ур. (е), имѣемъ:

(1 + m) (m' — г')

(l + m=)

или

Ь- (1' — m'^) (m' + r') = 0,

(1' + m^ (m'—

откуда m^ (P — r') = 0," или

1 = r. При этомъ условіи кривая разлагается на кругъ х' + у ' = (г + т ) ' и на эллипсъ ( т — г) у' -4- ( т + г) г' = (in — i f (m + г),'

причемъ величина осей эллип­ са соотвѣтственно равна m — г и m г. Если, кромѣ того, m = r, то точка р опишетъ линію х, т. е. ось ординатъ, и мы ири- ходимъ таким ъ образомъ къ извѣстному уже свойству эллип­ са, по которому, если двѣ точки прямой движутся по двумъ дан­ нымъ, взаимно перпендпкуляр - нымъ направляющимъ , то всѣ точки ея опишутъ при двиліе- ніи коаксіальные эллипсы съ постоянной разностью осей. Въ заключеніе замѣтимъ, что, если описывающая кривую

точка р не лежитъ на продолженіп прямой аі, но составляетъ съ точками а м Ь неизмѣняемый треугольникъ , то аналитическое из- слѣдованіе приведетъ къ тѣмъ же самымъ кривымъ, которыя нами были разсмотрѣны; при этомъ, разумѣется , условіе l = r новле- четъ также за собою разлолсеніе кривой на кругъ и эллипсъ. (Wochenschr . des osterr. Ing. - u. Arch.-A'^eroins) .

А ' у' + В (X —s ) ' —А ' В' = О и A ' y' + B ( x + s )' —АЧ^^ = 0 А=, у Ч - В / х ^ —А , і В=,= 0 и A ' ^'y + I V x -^ А , ' В/ = 0.

или же видъ:

' - - С Р И В АЯ

П О Г Р У Ж Е Н ЯІ

Г Р У Н Т О В Ы ХЪ

В О Л Ъ.

Таковое свойство оказывать весьма незначительное сопротив- леніе отдѣленію частеіі отъ цѣлаго, повидимому, весьма близко походитъ на свойство жидкостей (кромѣ паровъ и вообще газовъ). Но сходство это только кажущееся — грубое уже потому, что, какъ мы сказали раньше, въ земляхъ отдѣльныя ихъ части не соеди­ нены между собой частичными силами, а жидкости состоятъ, какъ извѣстно, изъ однородныхъ элементовъ, соединенныхъ таковыми.

Всѣ земли молено принимать за сыпучія вещества , так ъ какъ всѣ онѣ состоятъ изъ отдѣльныхъ и даже разнородвыхъ тѣлъ, несоединепныхъ между собой частичными силами, и потому въ су­ хомъ состояніи имѣютъ свойственные имъ углы такъ называемыхъ естественныхъ откосовъ. Поэтому онѣ даютъ своимъ частицамъ возможность свободно отдѣляться и перемѣщаться подъ вліяніемъ внѣшнихъ силъ или даже собственнаго своего вѣса.