Зодчий 1886 год

- 93

В 200 176 165 150 132 I16\ 66

Центральный уголъ. 155» О' 177" 38' 190» 54' 213» 47' 254» 34' 360'^ —'

же количеств о болѣе усовершенствованных ъ и практичных ъ эл­ липсографов ъ въ свою очередь можетъ быть по конструкці и раз- дѣлено всего лишь на четыре главных ъ вида , дѣйствительн о раз­ личающихся между собою (Rittershau s »Uebe r Ellipsographe n въ Verhandl. d. Verein s zur Beforderun g d. Gewerbefleisses« , 1874, стр. 269) . Если мы представим ъ себѣ какой-либ о кругъ , катящійс я внутри по окружност и другого круга , то каждая точка перваго опишет ъ гипоциклоиду ; если же діаметръ катящагос я круг а равен ъ поло- винѣ діаметра круга направляющаго , то всѣ описываемы я кривыя обращаютс я въ эллипсы (на этомъ между прочимъ основанъ эллипсограф ъ А . Slaby, описані е котораг о находитс я въ вы- шеупомянутом ъ изданіп , 1876 г. , стр. 327) . Если (фиг . 32)

Длина дуги. 541 546 550 560 587 729 415

157,6 163,9 167,3 172,6 180,3 188,7 234,7

Предѣлъ дѣйствительных ъ R для выпуклых ъ дугъ здѣсь так ъ обширенъ , что нѣтъ никакой надобност и въ дополнені и прибора посредством ъ другой , меньшей величины г. Такимъ образомъ мы разсмотрѣл и всѣ приборы , служаще е для проведені я прямыхъ линій и окружностей . Мы могли-бы и закон­ чить этим ъ наше изслѣдованіе , так ъ какъ громадно е большинств о геометрических ъ построені й состоитъ исключительн о изъ прямыхъ и круговых ъ линій , что вполнѣ подтверждаетс я на основані и тео­ ретическо й геометріи . Доказано , что всякая задача , имѣющая только одно рѣшеніе, можетъ быть рѣшена исключительн о съ по- мопі,ью линейк и т. е. посредством ъ однѣхъ прямыхъ линій , если ея данныя выражены графическ и — посредством ъ масштаба ; всякая же задача второй степени , т. е. имѣющая не боліье двухъ рѣшенгй, можетъ быть рѣшена графическ и — посредством ъ линейки и цирку ­ ля, т. е. посредством ъ прямых ъ п круговых ъ линій . Этимъ до­ статочно объясняетс я преобладающе е значені е этихъ двухъ родовъ линій въ теоретическо й геометріи . Съ другой стороны прямая и кругъ — единственны я линіи изъ всѣхъ, могущих ъ быть проведен ­ ными на плоскости , которых ъ части могутъ между собой вполнѣ совмѣщаться. Послѣднее условіе , будучи необходимым ъ для дости- женія извѣстно й степени точности , играет ъ весьма важную роль въ механическом ъ примѣнені и этихъ линій . Изъ остальных ъ ли- ній, не могущих ъ совмѣщатьс я съ плоскостью , одна лишь винто­ вая кривая обладает ъ этим ъ свойством ъ и, благодаря , этому она также получил а обширно е прпмѣненіе въ механикѣ— въ видѣ вин­ та и гайки . Тѣмъ не менѣе как ъ въ теоретической , так ъ и въ приклад ­ ной геометрі и нерѣдко встрѣчаетс я надобност ь въ иныхъ линіяхъ , нежели прямая и кругъ . Вообще говоря , отыскані е хорошаг о спо­ соба вычерчивані я этихъ остальных ъ кривыхъ представляетс я да­ леко не легкой задачей . Даже когда теорія образовані я какой--л и бо кривой довольно точно извѣстна , не всегда возможно найти практическі й способъ примѣнені я этой теоріи и не всякій осно­ ванный на теоріи способъ можетъ дать достаточн о точные прак- тическі е результаты . Изъ всѣхъ кривыхъ послѣ круга , эллипсъ являетс я повидимом у самой простой и построені е его самымъ легкимъ ; тѣмъ не менѣе нѣкоторые авторитет ы совѣтуют ъ вмѣсто вычерчивані я точнаг о эллипса , замѣнят ь его т. паз . коробово й кривой , составленно й изъ 6—7 сопряженных ъ дугъ круга , причемъ даже опытный глаз ъ удовлетворяетс я подобной замѣной, хотя очевидно , что кривизн а эллипса мѣняетс я постепенно , тогда как ъ кривизн а коробово й кривой въ точках ъ сопряжені я пзмѣняетс я сразу . Разсмотрѣнна я нами выше система шарниров ъ Peaucellie r вѣроятно примѣнитс я современем ъ и къ этому отдѣлу. Уже извѣстно, что всякія кони- ческія сѣченія и нѣкоторы я кривыя 3-го и 4-го порядка могутъ вычерчиватьс я посредством ъ подобных ъ шарнирных ъ системъ и что практическо е выполнені е подобных ъ приборов ъ не настольк о затруднительно , чтобы отъ нихъ нельзя было ожидать достаточно й степени точности . Какъ уже было сказано , эллипсъ представляет ъ собою наибо- лѣе распространенну ю кривую послѣ круга и циклоидальных ъ крпвыхъ , являясь въ видѣ наклонных ъ проекці й круга . Потому , найдя въ видѣ циркуля средств о для быстраго , точнаго и легкаго вычерчивані я круга , чертежник и и инженеры уже съ давнихъ поръ стремилис ь къ изобрѣтені ю такого же совершеннаг о прибора для вычѳрчивані я эллипса или т. паз . эллипсографа . Изъ множе ­ ства подобных ъ приборовъ , изобрѣтенных ъ въ разное время , мы можемъ указать на какихъ-нибуд ь десять эллипсографовъ , суще­ ственно разнящихс я между собою по своей конструкціи ; осталь ­ ные же приборы , по большой части изобрѣтенны е независим о одинъ отъ другого , весьма сходны между собою и недостатк и ка­ кого-либо одного изъ нихъ повторяютс я почти без ъ измѣнені я во всѣхъ остальныхъ . Это объясняетс я малою примѣнимость ю по- робныхъ приборов ъ вслѣдствіе ихъ несовершенно й конструкці и и происходящим ъ отсюда малымъ распространеніем ъ ихъ , так ъ что рѣдкій изобрѣтател ь могъ основательн о ознакомитьс я со всѣми подобными попыткам и своихъ предшественниковъ . Наибольше е

R — направляющі й кругъ , вырѣзанны й въ доскѣ, въ которомъ катится кругъ г съ вдвое меньшимъ діаметромъ , то точка р, лежаща я внутри внутренняг о круга опишет ъ эллипсъ е, а точка Р , лежащая внѣ круга г—эллипс ъ Е , при­ чемъ въ первомъ больша я и малая полуоси будутъ соотвѣтственн о Pm и Ра, а во второмъ — Р т и Ра . Слѣдо- вательно , если точка , описывающа я эллипсъ , находитс я внутри катящагос я круга, то сумма полуосе й Ра -\ - Р т будетъ равна діаметру этого круга , а если эта точка находитс я внѣ катя­ щагося круга , то діаметръ его равен ъ разности полуосе й Рт—Ра . На этомъ

Fig,32,

свойствѣ эллипса , впервые изслѣдованном ъ математиком ъ Кардан е (по имени котораг о и названа эта теорема) , основываес я девят ь десятыхъ всѣхъ существующих ъ эллипсографовъ , различающихс я между собою лишь его примѣненіемъ . Одну изъ формъ , весьма часто повторяющихс я въ остальных ъ эллипсографахъ , представляет ъ т. наз. круговой циркул ь Біона (1723 года) , гдѣ (фиг . 40) эллипсъ чертитс я штифтомъ , на­

ходящимся на рычагѣ, который сколь- зитъ по двумъ направленіямъ , боль- шей частью перпендикулярным ъ между собою. Эти направляющі я больше й частью дѣлаются въ видѣ пазовъ , вы- рѣзанныхъ въ деревянно й или метал ­ лической доскѣ, снабженно й снизу

Fio.'f.O

-/-. . . .

маленькими шипами для того, чтобы она не скользил а по бу- магѣ; въ обоихъ пазахъ скользят ъ выдающіяс я части обоймъ , не­ подвижно соединяемых ъ съ рычагомъ . Величин а и форма вычер- чиваемаг о эллипса измѣняетс я съ зависимост и отъ отношені я раз- стояній между нанравляющим и точками и чертящим ъ штифтом ъ Эта первоначальна я конструкці я также основываетс я на теоремѣ Кардане , причемъ изъ послѣдней выводится : 1) Если двѣ точки какой-либ о плоскост и движутс я по сторо­ намъ угла , лежащаг о въ той-же плоскости , то всякая треть я точка этой плоскост и опишетъ эллипсъ . 2) Если изъ двухъ лежащих ъ на плоскост и точекъ одна дви­ жется по окружности , лежаще й въ той-же плоскости , радіусъ ко­ торой равен ъ разстояні ю между точками , а друрая точка движетс я по какому-либ о діаметру этой окружности , то всякая треть я точка этой плоскост и опишет ъ эллипсъ . 3) Если кругъ катитс я внутри другог о круга съ вдвое боль­ шнмъ радіусомъ , то всякая точка перваг о опишет ъ эллипсъ . Связь между этими тремя положеніям н была найдена Jopling'oм ъ (»Mechanics' Magasine«, 1820, стр. 216) . Каждое изъ этихъ трехъ положені й примѣнялос ь неоднократн о къ устройств у эллипсографовъ . Изъ указаннаг о нами выше свойства , заключающагос я въ томъ, что сумма (или разность ) полуосе й эллипсов ъ равна постоянно й величинѣ—діаметр у катящагос я круга , слѣдует ъ далѣе, что каждая точка круга , концентрическаг о съ катящимс я кругомъ , таіике опи­ шетъ эллипсъ , конгруентны й первоначальному . Обобща я все это положеніе, мы можемъ сказать , что если двѣ какихъ-либ о точки, лежащія на плоскости , движутс я по двумъ конгруентным ъ эллип- самъ, имѣющим ъ общій центр ъ и разстояні е между этими точка­ ми равно суммѣ (или разности ) полуосей , умноженно й на синусъ угла, образуемаг о большими осями эллипсовъ , то всякая треть я точка той-же плоскост и также опишет ъ эллипсъ . Если одна изъ полуосей обращаетс я въ нуль , то діаметръ круга , на которомъ находятс я чертящі я точки, равен ъ діаметру катящагос я круга , и