Зодчий 1886 год

91

-

ASQ и АКР , имѣеы ъ равенств о A S Х А К = Л Р. AQ. Подставля я как ъ показан о на фиг . 29 , A D = а, причем ъ A Q = а + г п АР = а — г , пмѣемъ A S X А К = а ' — г ' , и, по уравн . (1) AZ "AS с^ Г' (2) Такъ как ъ по уравн . (2 ) отношені е A Z : A S постоянн о для всякаг о положенія , то слѣдовательп о точк и S и Z описываіот ъ подоб ­ ныя фигуры , центр ъ подобі я которых ъ ест ь А , и сдѣдовательн о точк а Z описывает ъ кругъ , радіус ъ котораг о определитс я изъ подобі я фигуръ : ^ = Р ) Фиг. 29 относитс я кь тому случа ю когд а b > с и а > г ; справедливост ь же вывод а остаетс я и для того случая , когд а этих ъ неравенств ъ не существует ъ и когд а такпм ъ образом ъ появляютс я отрицательны я величины . Въ том ъ случаѣ когд а а < г, центр ъ подобі я А лежит ъ внутр и круг а и Ръ будет ъ отрицательный . Фиг. 30 относитс я къ случаю, b < с и а < г , причем ъ и здѣсь выведенны я нам и уравнені я сохраняют ъ сво е значеніе . Обозначені я на этой фиг . тѣ же , что и на предъидущей , так ъ что нетрудн о убѣдитьс я въ справедливост и послѣдняг о положенія . а = г дает ъ въ обѣихъ случаях ъ R = оо , т. е. точк а Z описы ­ вает ъ прп этом ъ пряму ю лині ю — свойств о прибор а особенн о важ- . ное при черчені и машинъ . Разсматрива я конструкцію , представленну ю на фиг . 31 , мы ви ­ димъ кажущеес я значительно е отклонені е отъ предъидуще й конструк - ціи; однако , дополнив ъ К М N пунктирным и лпніям и таким ъ об­ разомъ , чтоб ы получилс я ромб ъ мы сейчас ъ же убѣждаемся въ полном ъ сходствѣ съ фиг . 30 . Точк а Z будетъ . описыват ь кругъ , подобны й описываемом у точко ю К ; тож е и относительн о Z , , если тольк о четыреугольник п Z , М , AN , и ZMAN подобны , для чег о должн о имѣть мѣсто услові е — с, : с = b , : b. Обознача я это от- ношені е через ъ ѵ, имѣемъ с, : с = b , : b = V = AZ , : A Z (4 ) На фиг . 31 V = 2 . Формул ы (1) и (3) , гдѣ, при услові и с > ,b удобнѣе писат ь с- — b^ вмѣсто b - — с ' (пзмѣнив ъ при этом ъ знакъ) , дадут ъ поэтом у R , ( £ і + b. ) ( С = г S, d (5) 1" — а^ г - гдѣ s , и d для краткост и обозначают ъ сумму и разность . Подобно тому , как ъ фиг . 31 представляет ъ впдоизмѣнені е фиг . 30, можн о измѣнит ь и фиг . 29 . Разсматрива я блііж е описывані е круг а посредством ъ прибор а представленнаг о на фиг . 31 , мы видим ъ прежд е всего , что цен ­ тры вращені я А и D (нолск п циркуля ) должн ы находитьс я на од­ ной плоскости ; для измѣнені я величин ы A D = а устраиваютс я пазы , въ которых ъ движетс я точк а А и, для больше й точност и установки , прибавляетс я микрометрическі й винтъ . Повидимому , как ъ показывает ъ выр;ізкені е для R , относительны е размѣры часте й прибор а совершенн о произвольны , так ъ как ъ ве ­ личин а R может ъ получатьс я одна и та же пр и различных ъ г , (с, - | - Ь, ) (с — Ь) и а . 0,днак о отношені я эти обусловливаютс я наивыгоднѣйше й производительность ю прибора , заключающейс я въ наибольше й длин ѣ описываемо й имъ дуги . Эти услові я выражаютс я геометрическ и слѣдующим ъ образомъ : Перво е условно е уравнені е получаетс я при подстановк ѣ наи ­ меньшаг о R при г > а въ уравн . (5) . Пусть это наименьше е зна - ченіе ест ь Ro при г > а , тогд а имѣемъ. V — а„- гдѣ Зо ест ь наименьше е возможно е значені е а . Однак о а^ не мо ­ жетъ быт ь = О , так ъ как ъ ножк и инструмент а А и D не пред ­ ставляют ъ собою математических ъ точек ъ и не могут ъ быт ь по - мѣщены одн а подъ другою . Кромѣ этог о услові я для а^, мы имѣ - емъ еще геометрическое : г -\ - d (7 ) что видн о изъ треугольник а КМА, причем ъ с — b = d , и при данных ъ г и ао наибольше е значеяі е сторон ы К А ест ь г - j - а^. Возможност ь употреблені я прибора , когд а его обѣ ножк и сдви ­ нуты вмѣстѣ, зависит ъ отъ устройств а рычаговъ ; предположпм ъ эту возможность . По мѣрѣ увеличені я а, будет ъ увеличиватьс я и R . Так ъ как ъ прибор ъ въ особенност и необходим ъ для вычерчи - ванія весьм а плоских ъ круговъ , то а во всяком ъ случаѣ должн о быть весьм а близк о къ г или даже , при R = оо , а = г. По мѣрѣ возрастані я величин ы а, радіус ъ R уменьшаетс я и R„ = г S , d (6)

достигает ъ окончательн о наименьшаг о значені я Rm , которо е опредѣ- литс я по выраженію : R m = r s, d гдѣ am — наибольше е значені е а. — г ' (8) (9) так ъ как ъ въ треугольник ѣ КМА сторон а К А не может ъ быт ь меньш е с + Ь . Друго е услові е вытекает ъ изъ того , что ради удобств а конструкці н и употреблені я прибор а точк а Z i должн а находитьс я внѣ АК . Изъ уравн . (5) имѣеы ъ AZ , = s, ' d : ЛК , и, полага я втору ю част ь равенств а больш е АК , получаемъ : - 1- am Наибольше е значені е А К есть г + am, откуд а г + am < у S, d (10) Легко замѣтить , что послѣдній вывод ъ примѣним ъ непосред ­ ственн о къ фиг . 31 , принима я ѵ = 1 ; 'при этом ъ услові е (9 ) отбрасывается . Прииѣня я же эти вывод ы къ фиг . (29 ) слѣдует ъ также принят ь ѵ = 1, но сохранит ь услові е (9) , так ъ как ъ оно именн о и выражает ъ зависимост ь А К < AZ . Для опредѣлені я длины описываемо й радіусом ъ R дуги , пред ­ ставим ъ себѣ точк у Z , въ движеніи , причем ъ А К будет ъ посте ­ пенн о увеличивается , если движені е началос ь съ соотвѣтствую - щаго положені я А К = а -( - г. Движені е Z , будет ъ происходит ь въ обѣ сторон ы этог о начальнаг о положені я до тѣхъ поръ , пок а АК = с — b = d; при этомъ циркул ь снов а закрывается . Полу­ ченна я длин а AZ , равн а тогд а с , - | - Ь , = s и центральны й угол ъ дуги, описанно й точко й Z отъ начальнаг о положені я образуетс я сторонам и треугольник а AZ , Т , пересѣкающимис я въ Т , послѣдня я точк а намъ неизвѣстна , как ъ центр ъ описываемо й дуги . Обозна ­ чпвъ сторон ы этог о треугольник а A Z , = s, , TZ , = R — Т А = а R : г и вышеупомянуты й угол ъ — Т, имѣемъ по извѣстном у правил у тригонометріи .

откуд а послѣ нѣскольких ъ пре -

>

2 ( а : г ) R^

( t ' ° - + a ' ) d ' - ( r ' - a ' f -12 2ard 2

образованій : cos Т = R ^ a r + r V - r V . 2arR*

•K^'-J

1 Опредѣляя изъ послѣдняг о выражені я sin — Т по формулѣ cos Т =

= 1—2sin^- ^ Т , пмѣемъ (независим о отъ предстоящаг о знака) :

откуд а

а

2 l / a r ^

d '

(12)

4 R s i n A T = 2s, У ^ ( і _ - А _ ^ )

1 Для весьм а плоских ъ дуг ъ величин а 4 sin — Т весьм а близк о подходит ъ къ величин ѣ самой дуги , описанно й точко й Z , и, так ъ как ъ въ этом ъ случаѣ а приблизительн о = г, то приблизительна я длин а тако й дуги : L = S , 1/ 4 —(d^:r» ) (1.3 ) Съ друго й сторон ы при Ro , когд а г - | - а^ = d, co s Т = 1, Т = 0 и, слѣдовательно , длин а дуг и такж е = О , возраста я чрезвычайн о быстр о по мѣрѣ возрастані я а.^. Быражені е для cos Т показываетъ , что cos Т = О , т. е. опи ­ санна я дуг а ест ь ~ окружности , когда : а^ = г^-Ь ^ < і ^± / " 2 d^ (r^ + y d») • • -(14 ) Знак ъ - -j относится , так ъ как ъ а > г , къ выпуклым ъ дугамъ ; знак ъ же — дает ъ дѣйствительно е значені е тольк о при г > а, что соотвѣтствует ъ вогнутым ъ дугамъ . Далѣе, это же выражені е показываетъ , что полна я окружност ь (причем ъ cos Т = — 1 ) будет ъ описан а npn . a==r4 : d . . . (15 ) причем ъ верхні й и нижні й знак и означают ъ соотвѣтственн о вы­ пуклы й и вогнуы я дуги . Съ помощь ю всѣхъ нами выведенных ъ выражені й мы можем ъ тепер ь опредѣлит ь всѣ услові я образовані я дуг и круг а по фиг . 31 . Эти услові я вообщ е слѣдующія: 1) Выражепі я (13 ) показываетъ , что длин а плоских ъ дуг ъ si = c i + b i , т. е. зависит ъ отъ размѣров ъ прибора . Далѣе, изъ этого же выраженія :

12*