Пропорциональность в архитектуре

Схема пропорциональности классики

70

при разборе памятников классики численные от ­ ношения, сравнительно близкие к золотому сече ­ нию и отвечающие интервалам от кварты до октавы, следующие:

в) в двух треугольниках, получаемых от деле ­ ния правильного треугольника перпендикуляром опущенным из вершины его на основание, углы относятся как: 4:2:3 — квинта кварта и октава; г) как выше указано, отношение угла правиль ­ ного треугольника к углу квадрата 60°: 90° = 2:3 — квинта, отношение угла правильного треуголь ­ ника к углу правильного шестиугольника 60°: 120° =1:2 — октава; 4) в равнобедренном прямоугольном треуголь ­ нике, составляющем половину квадрата: отношение гипотенузы к катету ]/2: 1 = 1,4142, близкое к отношению 5:7 — des — уменьшенная квинта; отношение углов в нем 1:2 — октава; 5) отношение полуокружности к диаметру круга, равное у it = 1,570796 почти равно 11:7=1,571..., большая квинта = 1,5625 = 25:16. В разобранных нами архитектурных памятни ­ ках Греции и Рима в последовательно между собой связанных архитектурных частях удалось устано ­ вить: чаще всего — до 100 случаев — применение отношения 2:1, т. е. октавы, а также и квинты 3:2; более 50 случаев применения отношения 4:3 квар ­ ты, 5:3 — большой и 8:5 — малой сексты; до 60 случаев применения отношения 7:5, близкое боль ­ шой кварте; 40 случаев — применения отношения 25:16 — большой квинты; 70 случаев — отношения 16:9 и 15:8 — большой и малой септимы. Кроме перечисленных, нашли себе применение, хотя и реже, численные отношения, отвечающие остальным интервалам октавы. Нам известно, что греки времени своего рас ­ цвета знали и оценили то выдающееся значение, которое представляет собой деление в среднем и крайнем отношении, деление золотого сечения. Причина, почему зодчие классики тем не менее не приняли его, а довольствовались более или менее близкими к нему численными приближе ­ ниями, лежит без сомнения как в том, освещенном веками, значении, которое придавалось числен ­ ным отношениям интервалов октавы, признавав ­ шимся постоянными величинами, обусловливаю ­ щими всякую гармонию, так и в простоте их при ­ менения. К тому же золотое сечение, геометрически простое и четкое, дает все же, неприемлемые для древних греков, иррациональные численные вели ­ чины. Античность признавала только естественные, по ­ ложительные числа, в то время как представление об иррациональных числах или о бесконечных десятичных дробях оставалось для того времени еще недоступным. На это указывает хотя бы и позднегреческий миф, согласно которому „тот, кто впервые извлек рассмотрение иррационального из сокровенности и передал его гласности, погиб при кораблекру ­ шении, так как все нечеткое, богами скрытое, как безобразное, должно навсегда оставаться со ­ кровенным". Самый же выбор численных отношений интер ­ валов октавы, наиболее близких к золотому се ­ чению принятый греками-зодчими, давал им вполне приемлемые для их архитектурного вкуса ре ­ шения.

То же в десятич ­ ных зна ­ ках

Численные отношения архаических памятников

Тона октавы

отношения октавы

1,333 1,400 1,444 1,500 1,555 1,571 1,600

4 : 3 7 : 5 6»: 52 3 : 2 5* : 42 11 : 7 8 :5

4/3

Кварта IV ....................... Большая кварта .... Малая квинта ............... Квинта V ....................... Большая квинт ... * Малая секста ...............

25/18 36/25 3/2, 25/ 1

8/5

Золотое сечение

5 : 3 12 :7 7 : 4 4 2 : З а 9 : 5 15 : 8 2 : 1

1,666 1,714 1,750 1,777 1,800 1.875 2,000

5/3

Секста I ...................

16/9 9/5 15/8 2/1

Малая септима .... Септима ........................... Октава ...........................

ния малых чисел, отвечающих численным отно ­ шениям интервалов октавы. По этой таблице Приближенные к золотому сечению отноше- можно составить ряд численных величин — при ­ ближений к золотому сечению, из которых, как в этом последнем, каждый третий член составляет сумму двух предыдущих с все более близким приближением к золотому сечению. По золотому сечению

1:2:3 ....................................... 1,146: 1,854: 3 2:3:5 ................................... 1,910 : 3,090 : 5 3:5:8 ........................... 3 056 : 4,966 : 8 5 : 8 : 13 ....................... 4,966 : 8,034 : 13 8 : 13 : 21 . . . . 8,022: 12,978 : 21 13 : 21 : 34 . . 12,988 : 21,012 : 34

Отношения сторон и высот треугольников — Пифагорова, равностороннего и прямоугольного равнобедренного, выраженные в интервалах ок ­ тавы. Часть перечисленных отношений, отвечаю ­ щих интервалам октавы от кварты до октавы, получается в соотношениях членений простых геометрических фигур. Так: 1) Отношения сторон и гипотенузы Пифагорова треугольника дают: 3:4|4:5|3:5|. 2) Отношения сторон и высоты двух Пифаго ­ ровых треугольников с одним общим катетом — высотой, дают при высоте 3 — 3:4|4:5|5:8| — кварта, секста, терция, при высоте 4 — 14:5|5:6| 2:3 — квинта, терция. 3) В равностороннем треугольнике: а) отношение высоты к половине основания дает_отношение ]/3 :1 или 1,7321..., близкое к отношениям 12:7 или 1,7143..; или 7:4 = 1,75 б) отношение высоты к основанию дает отно ­ шение 0,866, близкое к отношениям dis — 0,853 или М° — Л4 4 золотого сечения равное 0,875.