Пропорциональность в архитектуре

§ 15. Пропорциональное согласование площадей подобных прямоугольников

45

б) стороны этих квадратов дают геометрическую прогрессию золотого сечения с знаменателем /ЛЙ = 0,786; в) этот последний ряд представляет собой двой ­ ной ряд геометрической прогрессии золотого се ­ чения с знаменателем /И 1 , а именно: 1) квадратам площадей 1И°, ІИ 2 , Л4 4 , ЛГ и т. д. отвечают отношения сторон по геометрической прогрессии золотого сечения с основанием 1И° и с знаменателем ІИ 1 ІИ 1 : Л4 2 : ІИ 3 : М 4 и т. д. ; 2) квадратам площадей Л4 1 , Л4 3 , ІИ 5 , ЛГ и т. д. отвечают отношения сторон по геометрической прогрессии золотого сечения с основанием /Л-Г и знаменателем /И 1 j /ТИ 1 : j/714 3 : /ТИ5 : }/Л4 7 и т. д. Геометрическое построение квадрата, равного майор и минор основного квадрата. 1. Для геоме ­ трического построения квадрата, равного майор основного квадрата а 2 заметим следующее: г) построение стороны этого квадрата сводится к известному в геометрии построению средней геометрически пропорциональной между 0,618 и 1,000, а именно (таблица IV, фигура 6): на стороне а основного квадрата а 2 отклады ­ ваем ее майор ДО = 0,618 а. От О откладываем на продолжении прямой АО — прямую ОВ — а=1. На прямой АО-\-ОВ, как на диаметре, чертим круг. В точке О, делящей диаметр круга АВ на части 0,618 и 1,000, восстанавливаем перпендику ­ ляр до пересечения с окружностью круга в точ- ке С; этот перпендикуляр и будет равен \/АО, так как АО : ОС = ОС :ОВ, откуда ОС 2 = АО-ОВ, и далее ОС = /ДО- ОВ =р/бЖй = 1/0,618 = 0,786 . что и отвечает стороне искомого квадрата ; затем из точки О радиусом ОС вычерчиваем окружность до пересечения с основанием исходного квадрата, получая таким образом на нем сторону а]/1И квадрата равного майор исходного квадрата а 2 , т. е. сторону квадрата площадью а 2 М, что и от ­ вечает заданию — площадь квадрата 0,618а 2 , сто ­ рона его ]/0,618а = 0,768а- 2 Для построения квадрата, равного минор основного квадрата а 2, заметим, что : а) площадь квадрата, равная минор основного квадрата, а 2 = а 2 М 2 = 0,382а 2 ; следовательно б) сторона квадрата равна минор основного квадрата ]/а 2 7Й 2 =аМ = 0,618а — АО. Из этих построений ясно дальнейшее построе ­ ние геометрической прогрессии с знаменателем 1/714 при дальнейшем делении основного квадрата и построение постепенного ряда пропорциональ ­ ных между собой по золотому сечению квадра ­ тов. Построение пропорциональных и вместе с тем подобных прямоугольников. 1. Так же как постро ­ ение квадрата, решается и построение прямо ­ угольника, равного майор основного прямоуголь ­ а) площадь основного квадрата а 2 ; б) майор основного квадрата аШ 1 ; в) сторона такого квадрата = = «1/0,618;

ника, с основанием М 1 и высотой 1И°, т. е. пря ­ моугольника площадью 1И°-М 1 = 1И 1 и подобного ему. а) Площадь основного прямоугольника /И 0 -/И 1 = = /И 1 . б) Для прямоугольника площадью равного его майор принимаем основание равным х, а высоту равной у (таблица V, фигура 2). в) Площадь искомого прямоугольника будет равна: ху = /И 1 • ІИ 1 = ІИ 2 . г ) Для подобия двух прямоугольников, основ ­ ного и искомого, составляющего вместе с тем его майор, отношение сторон их должно выражаться уравнением: 1И° :у = ІИ 1 : х, откуда х = 1И і у и далее ху — 7И 2 ; подставляя значение х, получаем: М'у 2 = М 2 иу 2 = ^ = М', откуда основание х = Л4 1 /Л1 1 , высота у — ]А1И 1 , а площадь ху — 1И 1 VAT-J/AH = ІИ 2, что отвечает заданию. 2. Далее для построения прямоугольника, рав ­ ного майор этого второго прямоугольника пло ­ щадью М 2 и подобного ему, принимаем основание равным $ и высоту равной t, причем площадь искомого треугольника будет х7 = Л1 1 -ЛР = /И 3 . Отношение сторон этого прямоугольника, как выше, должно отвечать уравнению: |/7W:s, откуда в = 1ИЧ. Подставляя значение для $ в уравнение, выража ­ ющее площадь прямоугольника ві = 1И 3 , получаем Mi.t-t=M4 2 = M s , откуда t 2 = ^- = M 2 . М 1 Высота искомого прямоугольника 7=]/Л1 2 = 7И 1 . Основание его s = M 1 t = M l -M = 1И 2 и т. д. Следовательно, для прямоугольников, подобных и пропорциональных по золотому сечению между собой, и к исходному прямоугольнику, с осно ­ ванием ІИ 1 и высотой 1И°, получаем следующие ряды пропорциональных отношений:

Основа ­ ние пря ­ моуголь ­ ника

Его М*

Его М*

Его М 3

Его М'

Площади прямо ­ угольников . . Основания их . . Высоты их . . .

М 3 М 2

М 2

м*

М 5 М 3 ЛР

Afi М* М°

м^Ѵм

М 2 ^ЛР МуПІР

у лУ