Пропорциональность в архитектуре

Пропорциональная схема золотого сечения

34

ственных случая деления целого на части, про ­ порциональные между собой и с целым и в смысле этой исключительной согласованности оба реше ­ ния одинаково равноценны. Однако в то время, как в первом из них дальнейшее деление целого на более мелкие пропорциональные между собой и с целым части может быть продолжено простым откладыванием постепенно минор на соответ ­ ствующий ему майор, создавая этим систему про ­ порциональной связи между делениями целого „высших порядков", по золотому сечению, схема деления по среднеарифметической пропорциональ ­ ной обрывается на первом же делении целого. Вместе с тем среднеарифметическое пропорцио ­ нальное деление значительно уступает золотому сечению в легкости восприятия отношений отрез ­ ков деленного целого. В общем итоге приходится признать исклю ­ чительно выдающееся свойство золотого сечения, которое не достигается ни среднеарифметическими пропорциональными, ни тем более другими де ­ лениями целого. сечения Графически для деления целого на пропорцио ­ нальные части, отвечающие последовательному делению его по золотому сечению, может слу ­ жить пропорциональный масштаб. Для этой цели отрезок АВ известным построением разделен на майор и на минор (таблица II, фигура 4). Далее на том же отрезке АВ от точки А до Н откла ­ дываем минор этого отрезка, равный QB и про ­ должаем таким же путем постепенно откладывать, последовательно меньшие отрезки или минор на соответствующие им большие отрезки. АН — со ­ ставляющий минор АВ и следовательно равный BQ откладываем на АО от точки А. АІ — минор AG, равный GH, на АН\ АК — минор АН, равный HI, на АІ, и т. д. Такими последовательными делениями отрезок АВ разделен пропорционально по золотому сече ­ нию в точках G, Н ± І г К и т. д., причем, приняв целое равное АВ, получаем майор его АО и ми ­ нор ВО или при целом АН — майор его АІ и ми ­ нор HI и т. д. Считаясь с тем, что последовательное деление целого по золотому сечению дает геометрически- убывающую прогрессию с знаменателем равным майор, равным 7И = ^ /Г ^ 2 ~ 1 =0,618..., а последо ­ вательное прибавление майор к соответствующему ему целому дает возрастающую прогрессию со 1 2 знаменателем — = — — ------ =1,618..., мы в даль ­ ни V 5 — 1 нейших изложениях каждый последовательно ­ пропорциональный отрезок будем обозначать следующим образом : приняв АВ за целое . . а =аМ° АО его майор . а-М =аМ г АН майор AG . а-М-М- — аМ 2, АІ майор АН . . а-ІѴР-М =aM s § 11. Пропорциональный масштаб золотого

6. Майор основного отрезка есть минор нового целого, состоящего из первоначального целого, сложенного с его майор. 7. На основании п. 5, прибавляя непрерывно к целому соответствующий ему майор, получаем геометрически возрастающую прогрессию с зна- 1 2 менателем — ----- = 1,618... М ]/5 — 1 8. Сумма двух последовательных членов про ­ грессии золотого сечения равна предыдущему члену. 9. Разница двух последовательных членов про ­ грессии золотого сечения равна последующему члену. 10. Все перестановки отдельных членов, кото ­ рые допускаются для всякой непрерывной геоме ­ трической пропорции, допустимы и для деления по золотому сечению. 11. Каждые три непосредственно расположен ­ ные друг за другом отрезка относятся между со ­ бой как майор к минор. 12. Деление по золотому сечению как первич ­ ное, так и высших порядков дает наименьшее возможное число разных отношений между от ­ резками целого, деленного на неравные части, и дает наилегчайшее восприятие этих отношений. 13. Постоянное отношение деления по золотому сечению 0,618..., выраженное со сравнительно не ­ значительной погрешностью в приближенных це ­ лых малых числах 8:5; 5:3; 3:2 отвечает численным величинам консонантных интервалов октавы — уменьшенной сексты, сексты и квинты. Деление целого на 8 и 5 частей дает отноше ­ ние большего отрезка к целому, т. е. 8:13 = = 0,6154. Деление целого на 5 и 3 части дает отношение большего отрезка к целому (т. е. 5:8) = 0,625. Деление целого на 3 и 2 отрезка дает отноше ­ ние большего отрезка к целому — 0,6. 14. Производное деление целого по золотому сечению. Золотое сечение высших порядков дает приближенное значение остальных консонантных звуков октавы (см. далее таблицу деления прямой по золотому сечению и по отношениям, отвечаю ­ щим интервалам октавы). Значение среднеарифметического пропорцио ­ нального деления целого. Как выше было указано, основному тезису пропорционального деления целого, кроме золотого сечения, отвечает деление его на две неравные части, из которых больший отрезок настолько меньше целого, насколько меньший отрезок меньше большего. Это деление сводится к определению средне ­ арифметической пропорциональной между целым и меньшим отрезком. Алгебраически задача решается так : если дан ­ ный отрезок обозначим а и большую часть х, то меньшая выразится а — х и, согласно заданию, мы имеем пропорцию: а — х — х — (а — х); от- 2 сюда 3 х — 2 а и х = -^- а ; следовательно этому выражению удовлетворяет единственное решение: целое = 3, больший отрезок = 2 и меньший = 1, т. е. За = 2а-\- а, откуда 3 — 2 = 2— 1. Таким образом как среднегеометрическое, так и среднеарифметическое деление дают два един ­