Пропорциональность в архитектуре

§ 10. Итоги исключительных свойств золотого сечения

33

б) деление по золотому сечению на те же 6 отрезков дает число различных между отрезками отношений, равное степени наименьшего члена, умноженное на 2. Например при делении по убывающей про ­ грессии, дающей отрезки М° = М 2 -\-М 3 -\~М і -\- 4- М 3 714® М 5 с меньшим членом М й , полу ­ чаются 6X2=12 различных отношений ; при де ­ лении М° = Л1 1 -f- 7И 4 4- 7І4 4 4 “ М 6 М 3 -f- W 3 раз ­ личных отношений будет 9X2=18. в) деление на 6 отрезков между собою равных дает всего 3 различных отношения : 1; и 6; вообще при делении на любое количество равных между собою отрезков получается всего 3 раз ­ личных отношения; г) деление на 6 отрезков по повторному де ­ лению целого по среднеарифметической пропор ­ ции дает следующие отрезки : например 27 = 1 -f- 4-24-24-44-64-12 или 6X5 = 30 различных отношений (включая, как и выше, отношения отрезков к целому); д) деление на 10 отрезков дает : 1) при делении на отрезки произвольных раз ­ меров 11 X 10=110 различных отношений; 2) при делении по золотому сечению, приняв средний случай убывающей прогрессии золотого сечения, 10X2 = 20 различных отношений 7И° = Л4 2 4-Л4 3 4-Ж<4-7И 5 4-Л16 + ЛІ 7 + 4- Л+ 4- 7И Э + 7І4 10 4- М 9 ; 3) при делении по среднеарифметической про ­ порциональной 81 = 94-64-12 4-64-44-84-44- 4-84-84-16 различных отношений (7 X 6 = 42) — — 42; .. 1 1 Ю 4) при делении на равные части: — ; ----- три различных отношения. Для большей наглядности приведем таблицу чисел равных отношений, получающихся при том или другом делении целого. В данной таблице ясно выступает громадная разница числа разных отношений между отрезками целого, которая получается делением целого на отрезки произвольных размеров, делением по зо ­ лотому сечению, по среднеарифметической про ­ порциональной и по делению на равные части. Наибольшее число разных отношений получается при хаотическом делении на отрезки произволь ­ ных размеров.

Наименьшее число разных отношений полу ­ чается при примитивном делении на равные части, не решающем пропорционального деления, но дающем примитивно-ритмическое решение деле ­ ния целого, как то: в колоннадах, аркадах, рас ­ стояниях ряда оконных проемов и т. д. Из делений на неравные части, самую большую и весьма резкую экономию разных отношений, доходящую до 90 и более процентов против де ­ ления на отрезки произвольных размеров, дает пропорциональное деление по золотому сечению. Отсюда и следует указанное выше свойство золотого сечения, заключающееся в том, что при пропорциональном делении на неравные части, при делении его по золотому сечению получается наименьшее возможное число равных отношений между этими частями и целым, что и дает наи ­ легчайшее восприятие этих отношений. § 10. Итоги исключительных свойств золотого сечения Резюмируем вкратце все перечисленные выше выдающиеся свойства золотого сечения, выделяю ­ щие его из числа всех других возможных деле ­ ний и ставящие его в этом отношении на первое место : 1. Одно золотое сечение решает полностью за ­ дачу пропорционального деления целого на не ­ равные части, заключающегося в достижении гар ­ моничного между ними и с целым отношения пу ­ тем деления целого на такие две неравные части, из которых меньшая часть так относилась бы к большей как эта последняя к целому, и обратно — целое к большей своей части как большая к мень ­ шей. 2. Одно золотое сечение из всех возможных делений целого дает постоянное отношение между целым и его частями ; только в нем от основной величины, — от целого находятся в полной зависимости оба предыдущих члена, причем отношение их между собою и с целым не случайное, а постоянное отношение равное ^ /<5 2 ~ =0,618... при всяком значении целого. 1 3. При делении целого золотым сечением на майор и минор, этот последний в свою очередь является большим отрезком вновь разделенного по золотому сечению первичного майор. 4. Деление по золотому сечению, один раз про ­ деланное над основным целым, может быть про ­ должено путем откладывания каждый раз минор на майор и дает при этом непрерывный ряд зо ­ лотых сечений производного порядка. Отношение же целого к любому члену производного его де ­ ления по золотому сечению равно соответствую ­ щей степени его майор. 5. Следствием п. 4 является дополнительное свойство золотого сечения, по которому посте ­ пенное деление целого по золотому сечению (высших порядков) дает геометрически убываю- т/ “ 5 __ 1 щую прогрессию со знаменателем М = - — % — = = 0,618... и каждый член этой прогрессии нахо ­ дится в отношении золотого сечения к его пре ­ дыдущему и к его последующему члену.

Число различных от ­ ношений при деле ­ нии на равные части

Экономия при золо ­ том сечении

отношений при зо ­ лотом сечении

Число различи, от ­

Число различ ­ ных отношений при всех раз ­ ных размерах отрезков

Эконом, при средн,

ношен. при средне-

арифметич. делении

включая целое

арифм. делении

Число различных

Число отрезков,

30о/о 7Оо/о 8Оо/о 92о/ о 95о/о

3 3 3 3 3

4 6X2 = 12 10 X 2 = 20 15X2 = 30 30 X 2 = 60

6 30 , 42 72

1+2 1+6 1 + 10 l-f-15 1+30

3X2 = 6 7X6 = 42 11ХЮ = 110 16 X 15 = 240 31 X 30 = 910

О°/о ЗОо/о 53о/о 92о/о