Пропорциональность в архитектуре

§ 8. Закон золотого сечения

27

§ 8. Закон золотого сечения Деление целого на такие две неравные части, из которых большая так относится к целому, как .меньшая к большей, получается решением задачи, известной в математике под названием золотого сечения или деления данного отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, т. е. деление его на такие две части, чтобы большая из них была среднею пропорциональною между всем от ­ резком и меньшей его частью. Алгебраическое решение золотого сечения. Ал ­ гебраически задача решается следующим образом (таблица II, фигура 1). Если данный отрезок прямой АВ обозначим а, а большую его часть АО — х, то меньшая ВО составит а — х и, согласно требованию задачи, мы будем иметь пропорцию а : х = х : {а — х), откуда х 2 — а (а — х) или х 2 ах — а 2 = 0. Решив это уравнение, находим: а) положительное решение: а , Г а 1 . , б) отрицательное решение:

Построив такой треугольник, мы найдем ги ­ потенузу, выражаемую формулой :|/ (у) 2 4- а 2 . Чтобы затем получить длину х, достаточно из гипотенузы построенного треугольника вычесть — . Таким образом построение выполняется сле ­ дующим образом. Данный отрезок АВ (таблица II, фигура 2) де ­ лим пополам в точке С. Из конца В восстанавли ­ ваем перпендикуляр BD и откладываем на нем BD = BC. Соединив А и D прямой, получим прямоуголь ­ ный треугольник ABD, у которого : один катет АВ = а другой катет 5£> = у и, следовательно, опишем из D, как из центра, дугу радиусом BD, равным у. Тогда отрезок АЕ будет равен / і' т. е. он будет равен х. Отложив АЕ на АВ от А до О, получим точку О, в которой отрезок АВ делится в крайнем и среднем отношении, или другими словами отре ­ зок прямой АВ в точке О разделен по золотому сечению на две неравные части АО и GB, боль ­ шую и меньшую часть, из которых последняя от. носится к первой как первая к целому отрезку- Чгобы построить отрицательное решение х 2 , заметим, что это выражение а , /~<1 2 , о ^ = -Т-у 4- + а можно представить так: Для построения этого выражения (таблица II фигура 3) сложим гипотенузу AD треугольника ABD с катетом DB, для чего опишем из D, как из центра, дугу радиусом DB = у ; тогда отрезок AF будет равен — 4-1/" -4- а 2 2 V 4^ Отложив эту величину АЕ от точки А на про ­ должении отрезка АВ по противоположному на ­ правлению, получаем отрезок АН, среднегеоме ­ трическую пропорциональную между новым целым отрезком НВ и АВ. Численные величины, большего и меньшего от ­ резков (майор и минор) деления по золотому сече ­ нию. Определив геометрическое построение деле ­ ния целого по золотому сечению и алгебраическое выражение, отвечающее этому делению, укажем численные величины, которые отвечают вышепри ­ веденному иррациональному его выражению. его гипотенуза ЛЛ) = |/ ” (у) 2_ ^ а2. Чтобы вычесть из гипотенузы длину

Положительное решение можно представить так:

и так как

то и

Отняв от обеих частей-^, найдем, что

или что х х < а. Следовательно, задача всегда возможна и имеет только одно решение. Что же касается отрицательного решения, то абсолютная его величина дает ответ на изменен ­ ную задачу: данную прямую АВ продолжить на ­ столько (на х), чтобы продолжение было средней пропорциональной между а и а-^-х. Это также будет деление данного отрезка в среднем и край ­ нем отношении и называется внешним, в отличие от первого внутреннего. Геометрическое построение золотого сечения. Для геометрического построения золотого сече ­ ния заметим, что выведенное выше выражение }/" (у) 2 4- а 2 представляет собой длину гипоте ­ нузы такого прямоугольного треугольника, у ко- „ а торого один катет равен а, а другой у.