Пропорциональность в архитектуре

28

Пропорциональная схема золотого сечения

Формулу, определяющую положительное и от ­ рицательное значение среднегеометрической по золотому сечению деления целого : а , , Г а 2 і , х ~ ~ у — V 4" + а ’ можно представить так: х = - у ±- 1 /5. Или : положительное решение: *і=у(/5-і), отрицательное решение : х 2 = -|(Г5 + 1). Приняв теперь а за единицу, получаем : для = у (Кб — 1) =0,6180339887 . . . Условимся большой отрезок или майор целого = 0,618 . . . обозначать буквой М. Тогда АВ — целое 7И° = а = 1 = 1,000000 АО — больший отрезок Mi = x t = ~ (J/5 — 1) = 0,6180339887 . . . BG — меньший отрезок Ж 2 = а — х 1 = у(3 — /5 “ )=0, 381966 . . . а для х 2 = — у (1/54-1) = — 1.6180339887 и сле ­ довательно при Х-1 АВ — минор = а = 1,000, АН — • майор = — х = 1,618, НВ — целое= — (а -|-х) = 2,618. Исключительные свойства золотого сечения. Основное, исключительное значение золотого се ­ чения заключается в том, что золотое сечение дает отношение неравных частей целого между собой то же, что и отношение их к целому, т. е. а\ Ь = Ь-.(а — Ь). Кроме того следует также указать на связан ­ ные с этим основным свойством дополнительные исключительные свойства этой наиболее совер ­ шенной пропорции, а именно: в то время как обыкновенная и непрерывная геометрическая про ­ порция дает равенство двух отношений при 3 или 2 произвольных величинах, золотое сечение дает равенство отношений не произвольно взя ­ тых величин, а постоянное отношение между це ­ лым и его частями (равное 0,618 . . .). Постоянное отношение между целым и его отрезками. В геометрической обыкновенной про ­ порции a: b — c:d три члена произвольны; так, если члены а, Ь, с произвольны, d замыкает пропорцию. В непрерывной пропорции а : Ь — Ь: с

два члена произвольны; так, если члены а и b произвольны, с решает пропорцию и т. д. И в том и в другом случае отношение у про ­ извольное и только c:d или Ь:с, равные этому произвольному отношению, дают геометрическую пропорцию. В золотом сечении а:Ь= Ь:(а — &); оба последующие члена находятся в постоянной зависимости от исходной, основной величины, — от целого, причем отношение их между собой и с целым не случайное, а постоянное — равное 0,618 . . .; при всяком значении целого: а :0,618 а = 0,618 а :0,382 а, причем получается: отношение целого к большему члену а :0,618 а =1,618 отношение большего члена к целому 0,618 а :а = 0,618 ... и отношение большего члена к меньшему 0,618 а :0,382 а =1,618 отношение меньшего члена к большем}' 0,382 :0,618 а = 0,618. § 9. Золотое сечение — производное „высших порядков" Меньший отрезок целого — майор большего от ­ резка целого. Если целое АВ, согласно вышепри ­ веденному построению, разделено по золотому сечению на больший и меньший отрезки — на майор и минор — на АО и на ОВ, то, желая про ­ должать соответствующее пропорциональное де ­ ление путем деления майор АО по золотому се ­ чению, остается только на нем отложить минор GB, который в свою очередь является большим отрезком нового целого АО (таблица II, фигура 2). В самом деле, приняв : а) АВ — целое равное а, АО — майор а, равное х, ОВ — минор а, равное а — х, и затем б) АО — новое целое, равное х, GI — майор х, равное у, АІ — минор х, равное х — у, согласно вышеприведенной формуле, будем иметь для АО, т. е. для майор а значение: x=f]/5^T а для ВО, т. е. для минор а а — х = у(3 — /5). Продолжая деление по золотому сечению, при ­ няв АО за целое, получаем для GI майор х: У = % (1/5-D или, подставив для х его значение, выведенное выше, а именно х = | (i/5-l), У = Т - 1)(1/5 - 1) = I (3- |/5).