Основные элементарные расчеты в гражданских сооружениях

Такие сечения, как квадрат или круг, симметричны одновре- менно относительно обеих осей XX и уу и имеют, очевидно, одина- ковые экваториальные моменты инерции относительно их; в таком случае, согласно доказанной теореме, их полярный момент инерции равен двойному экваториальному, т.-е. І т = 2 / І = 2/ у . Теорема IL Когда известен моліент инерции данною сечения относительно оси, проходящей чрез центр ею тяжести, то можелі определить момент инерции относительно параллельной оси, нахо- дящейся на заданнолі расстоянии от первой. Пусть, например, нам известен момент инерции / я данного се- чения (рис. 25) относительно оси XX. Требуется найти его момент

инерции (/ я 1 ) , относитель- но оси Х л Х г , параллель- ной XX и находящейся от нее на расстоянии = а. Отдадим себе отчет, что произойдет с расстоя- ниями у при перемене оси XX на ось Х г Х.. Взяв дикуляр на обе оси, ви- дим, что в силу переме- ны оси все у' и подобных элементов площади заме- нятся на у опустив из него перпен- элемент площади от 1 ) и у

и с 2 3 '

а. Взяв элемент п ниже осей, увидим, что его прежнее у сменилось на у—а. Стало быть, говоря вообще, в новом моменте инерции мы будем иметь у всех элементов площади, вместо прежних у'ов, величины {у 4- а). Таким образом, новый момент инерции полу- чится из прежнего заменой «у» на ( у - Fa ) и мы получим для нового момента инерции следующую величину: /., = S/. (У±ау-= Ъ/{у г ±2ау + а*) = Ъ/у*±2а S/у-fa 2 £/, в которой все определенные и постоянные величины вынесены за знак X. Всматриваясь в полученное выражение, замечаем следующее: 1) 2 / у 2 есть не что иное, как первоначально данный нам мо- мент инерции сечения относительно оси XX, т.-е. /„. 2) Второе слагаемое имеет множитель S /У, который нам уже знаком и, в случае прохождения оси XX через центр тяжести сече- ния, равен 0 2 ). 3) В третьем члене S / есть не что иное, как вся площадь дан- ного сечения F, и а 2 —есть квадрат заданного расстояния между осями. ' ) Его можно представлять себе при этом различно—в виде очень ма- лого круга или бесконечно узкой полоски во всю длину сечения и т. д. 2 ) Напомним еще раз, что это есть сумма моментов элементарных пло- щадок сечения относительно центра тяжести его; так как это равно моменту всей площади (равнодействующей) относительно ее же центра тяжести, то по- лучим 0 (см. гл. 2 ч. I, стр. 13).