Основные элементарные расчеты в гражданских сооружениях

другое и характеризуется выражением S / . у ' , которое увеличивается с умножением элементов площади и с ростом расстояний этих эле- ментов от оси XX. Нам предстоит рассмотреть это выражение под-

робнее и научиться определять его величину для заданных сечений че- рез их геометрические размеры. Момент инерции в данном примере берется относительно оси XX, так как от нее именно берутся расстояния у элементов площади. Подобным же образом может быть взят момент инерции относительно оси YY —и тогда в выражение мо- мента войдут, вместо величин у а , величины X 2 . Кратко они изобра- жаются чрез У,/у г и 1/х 2 или І я и / у . Все такие моменты инерции, взятые относительно той или иной оси, называются экваториальными. Так как при изгибе такие оси про- ходят, как мы знаем, через центр

эс / 1 >

С .

I

L

J

Рис. 24.

тяжести поперечного сечения, то и будем предполагать это в последую- щем. Но в последующем изложении нам будут нужны еще моменты инерции другого рода. В них элементы площади множатся на квад- раты расстояний их не до оси, а до одной и той же точки, напр., центра тяжести О. Прежние у 2 и х 2 будут заменены здесь чрез г 2 , разумея под г расстояние каждого элемента площади до центра О. Такой момент инерции ( 2 / г 2 ) называется полярным (краткое обо- значение его есть /,.). Прежде чем перейти к точному определению всякого рода моментов инерции для заданных сечений, докажелг неко- торые основные свойства всех этих моментов. Теорема I. Полярный момент инерции данною сечения отно- сительно центра тяжести его равен сумме двух экваториальных моментов, взятых относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проведенных чрез тот же центр. Докажем это для нашего сечения на рис. 24. Полярный мо- мент инерции для него имеет выражение / г — S / t 2 . Но какой бы элемент площади мы ни взяли, для него всегда г 2 = лг 2 ~|-у 2 . Вставим это в наше выражение; тогда получим: І г = Ь/Р = Ъ/(х 2 + у 2 ). Но ясно, что суммирование не нарушится, если мы произведем его отдельно по двум слагаемым всей суммы х 2 Д-у 2 . Тогда получим: /, = 2 / ( * | § - у 2 ) = у/х 2 + I f у 2 , т.-е. - = ! у + / . , что и означает справедливость теоремы.