Основные элементарные расчеты в гражданских сооружениях

Пусть PQ и RS суть два параллельных между собой сечения нашего бруска до его изгиба. В таком положении бруска все его продольные волокна между этими сечениями — например, EF или СВ—были равны между собою по длине. После изгиба бруска, когда он принял форму дуги с некоторым радиусом г, волокна выше ней- трального слоя (как EF) удлинились (в EF X ), ниже его (как QS)— сократились (в QS X ), а в самом нейтральном слое, очевидно, остались без изменения (напр., СВ). Найдем удлинение волокна EF, нахо- дящегося на расстоянии у от нейтральной оси. Считая радиус кри- визны бруса г до нейтральной оси, мы должны считать радиус кри- визны для E F равным, очевидно, r - j - y . Но отрезки концентрических дуг между радиусами относятся между собою как их радиусы; сле- довательно, имеем: EF, _ г + у С В г Вычитая по единице из обоих частей равенства, получим: ЕЕ ; — СВ _ _у_ С В ~ г Но EF X — С В есть ничто иное, как удлинение волокна EF (ибо ранее EF было равно с С В), а Р есть относительное С В удлинение этого волокна, которое мы обозначали ранее (см. гл. 2) буквой 5. Следовательно, г Из этого равенства видно, что удлинения или деформации волокон бруса пропорциональны их расстояниям (у) от нейтрального слоя. Совершенно таким же образом мы могли бы доказать это и для укорочения волокон ниже нейтрального слоя. Из этого следует, что и напряжения материала (или внутренние силы, отнесенные к единице площади) также пропорциональны расстояниям этих на- пряжений от нейтрального слоя. Таким образом, подтверждается наше первоначальное предположение о росте напряжений в брусе при удалении от нейтрального слоя в порядке треугольников. Теперь докажем с такой же точностью, что нейтральная ось бруса AB (в плоскости Y Y) проходит через центр ею тяжести и, например, при прямоугольном сечении бруса (как в нашем при- мере) будет находиться по средине бруса. Для этого воспользуемся упомянутым выше законом равновесия сил при правой части бруса: алгебраическая сумма их проекций на горизонтальную ось (следовательно, сумма их самих) должна равняться нулю. Составим выражение этой суммы всех внутренних сил. В ней- тральном слое внутреннее напряжение равно нулю. На наибольшем рас-