Гидротехнические сооружения. Том I

Поэтому получим уравнения: д ( г - д , ) зд 2

лучим три координаты: r , у и г , где г — радиус •осевой линии арки и ? — угол отклонения сечения от ключевого радиального сечения (рис. 68) .

- ф а = 0 ;

(1)

дг 9у эл 2 дФ 2

(2) (3) (4)

Д 2 ( Л 1 + Ф 2 ) = 0;

377 дг '

Л £ = Х Ѳ -|-2ц

' 77

Ф 2 =

(5) (5a) (6)

Z a = Д 3 = 0; Z a = Ф 3 = 0; Z t =

= 0;

p

л>

Z 1

977 , 9 F

F \

„

1 9 (r- 77) , 1 3 F

977 , 7 7 , 1

9 F , 7

r Of Or ' r л 1 + ф а = 2(1 + ^ ) 6 ; 9« drä г r dr~ ri dfi '

dr

9? и с. 63. Напряжение в арке о углом растворения луполярных координатах.

Задачу свели к плоской. Диференцируя ур-ние (1) по у и складывая с ур-нием (2), получим: ді ( г - д о 9aß a 9д 2 , 0 „ . дг df 9у2 где Д а — скалывающее напряжение в радиальной плоскости. Очевидно при у = 0 имеем Д а = О вследствие симметрии. Если распор в ключе равен Н 0 и суммарное ска лывание в радиальной плоскости под углом у равно J , то Н 0 sin у — p r a sin у = <7, где г а — внеш ний радиус арки, а р — единичная нагрузка на внешней поверхности арки. Поэтому Д а = JBT-sin у, (9) где к зависит лишь от г . Тогда ур-ние (8) пере пишется в виде: с r - r i ) ( ѵ . дк\ . дг Интегрируя по у, получим 9 (r-Bj) , 9f f> дг (10) cos у + Р . (11) где Р — функция от г . Из ур-ний 1, 9 и 11 имеем:

Уравнения примут вид:

дг

r df

os

r

„

.

(ъ ѵ . 1

3w\,

97/\

ozs

9Z, , 1

9Z 3

—

s + —

+

в? Os 2 8 = 1 ѳ + 2 ц ^ е ;

дг

/ 1

377 , 9 F

F \

л,

1 ІЕ Э VF г ' ду + дг

0 _ 1 9 ( г - 77) г дг

Ф а = ( 2 Я + г ^ - ) с о з у + Р ,

(12)

і - 4 - і —

. а

a » - ü 4 - i

Ур-ние (11) примет вид: djr-lîj)

9г®

г * дг

r» dfi

9г« '

і Д 2 Ѳ = О и так как Л , + Ф а + Z g = (31 + 2ц) Ѳ , то Д 2 (Л , + Ф а + Z 8 ) = 0 , где Ф а , Л 4 , Z 3 — нормаль ные напряжения в радиальной плоскости, на ци линдрической поверхности и в горизонтальной плоскости; Ф 3 , Z t , Л а — тангенциальные напря жения, стремящиеся создать вращение относи тельно радиуса, направления касательной к окруж ности и относительно оси OZ; 77, F , W—у д лин е - ния вдоль радиуса, окрулсности и вдоль вертикали. Для горизонтальной арки высотой, равной еди нице, \ Ѵ = 0 и равны нулю в диферснциальных Уравнениях коэфициенты, связанные с Z .

__д(к-г)

cos у + P .

(13)

дг

or

Интегрируя, получим

(14) г - Л , = Я - r - c o s y + ( j pdr , так как Л , = 0 на внутренней поверхности арки и равно р при в с е х у.

Д 4 = К cos у + i - j * Pdr = К cos у + F, (15)

где F—f(r).