Гидротехнические сооружения. Том I

Числовой пример: примем следующие данные: 1 3 -1,4 « = 1,6 м, Ь = 2ж, с = 1,8 л, J . тх 0,7 3 -1 , 12 м*, По этим данным находим: к = 0,094, 1 = 0,3940, ц = 0,2918, ѵ = 0,3669. Введем обозначение: 3 = Ш Й = 2 , 7 2 ' 1 0 " 7 м І т < № = 2,1-10 6 ж/л 2 ). Разделив все коэфпциенты влияния па а, полу чим числовую таблицу: Рассыотрим сначала простейший случай балки длины I, подпертой по концам. Если эта балка совершает колебания основной частоты, то наи большие перемещения имеют элементы массы, рас положенные в середине балки, тогда как переме щения элементов, находящихся по близости от опор, будут весьма малы. Поэтому, если задаться целью заменить колеблющуюся массу балки одной фиктивной „приведенной" массой w®, сосредото ченной в середине балки, то было бы неверно принять т х равной всей массе колеблющейся балки, а не некоторой ее доле. Точное определе ние величины т х может быть дано на основе теории поперечных колебаний стержней (см например: С. П. Тимошенко „Теория колеба ний в инженерном деле", стр. 221 и след. пли А. Н. Крылов ..Дифференциальные урав нения математической физики". Изд. А. H СССР, стр. 300 и след.); в сложных случаях вычисления, основанные на этой теории, стано вятся фактически невыполнимыми, вследствие чего необходимо дать приближенное решение вопроса; такое приближенное решение, удовлетворяющее требованиям практики, можно получить, во-пер вых, задавшись формой упругой кривой, по кото рой происходит изгиб балки прп колебаниях основ ной частоты, и, во-вторых, приняв, что кинетиче ская энергия искомой приведенной массы т х равна кинетической энергии колеблющейся балки. Если через 7/ тах обозначить значение прогиба в сере дине балки, а через у — прогиб в любом сечении, через -—м а с с у балки, отнесенную к единице Длины се, то, согласно определению, получим:

2

3

1

4

.

0,3066

23,36

1 ,064

1 ,064

1

2

23,36

0,3066

1 ,064

1,064

3

1,064

1,064

5,497

0,0656

1,064

4

1,064

0,С656

5,497

Числа этой таблицы нужно умножить на а, что бы получить коэфпциенты влияния.

X I I . П Р И В Е Д Е Н И Е РАВНОМЕРНО Р А С П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Х МАСС К СОСРЕДОТОЧЕННЫМ (см. главу X) Подстановка в предыдущую формулу по сокраще-

нии дает ( ~ = const)

о хГ а .1

I ' 2 (a»)

тг

Y 2

max

CG y или, вводя -г- = Е n обозначая массу балки — і 1 9 через М, получим:

(14)

J V z max)

Как уже было указано выше, при дальнейшем вычислении надо задаться формой упругой кри вой изгиба балки при колебаниях, т. е. функцией Г (ж). Хорошее совпадение с точными решениями (известными только для простейших случаев) по лучается, если за F (а-) принять форму статиче ской кривой изгиба балки под действием той или иной иагрузкп. Например, в случае балки, лежа щей на двух опорах, приняв за Y (х) статическую кривую изгиба от сосредоточенной в середине си лы, имеем:

PI 3 48 EJ

и

16 EJ

3 i ' h

С

Y y max

4 ж / 3 I 3 /

/ X

при

—

z 3

\і

[ 1 - х 1 1

4 (1

х ^ i

:3

прг і

3

Ж® '2 TT Уmax ' •iîïf

iß (to,

подстановка в формулу (14) дает: 17 1 7 т<Ю ~ 35 n = 35 М

~ м а с с а б а л к и ) -

г Де точкой обозначена пронзводиая по времени. Так как колебания всех элементов балки про исходят с одинаковой частотой п в одной фазе, то можно принять Уmax— Y Max s'm{tot + a),. y = = Y (X) sin (cat -f- a). Справочник.

Для частоты колебаний балки получим

V

~ * Ѵ

Т '

Ѵ

т х

иО