Гидротехнические сооружения. Том I

IX. ПРИБЛШКЕИИЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ. ФОРМУЛА BÜNKERLEY'H. МЕТОД НИАНЕЛЛО

Во многих случаях наиболее важным является знать значение основной частоты колеблющейся системы, т. е. той частоты ее, которая имеет на именьшее численное значение (назовем ее w,). Более высокие частоты лежат во многих случаях значительно выше угловой скорости вращения установленного на фундамента двигателя и по этому не представляют опасности в смысле резо нанса. Для определения основной частоты D u n - к е г 1 е у предложил в 18Э4 году формулу, установ ленную им экспериментально (для критических чисел оборотов вала паровой турбины при нали чии нескольких дисков); в наших обозначениях эта формула имеет вид: *і = Лі + /»+ •••+fn или 1 . fil t /92 I fnn + 9 9 9 (1) (2) . u Замечая, что — = — = , где о>ц — частота коле 9 ш и баннй, которую имела бы масса іщ при отсут ствии всех остальных масс, получим формулу (2) в виде данном D u n к с г 1 е у ' е м Дадим вывод формулы II u n к е г 1 е у ' я, походя из уравнения (6) главы VIII. Раскрывая опреде литель, получим: ^ гп _ 'gn-i(f u + f n + . . . - f f nn ) + ... = 0. Назовем через z„ z 2 ,... z n корни этого урав нения. Имеем: z i + Zs i + • • • + Zn — f i i + /22 + • • • - f fnn а и так как все + = * , положительны, то навер ное „у» — г і < fn + /и + • • • fn (4) Так как со, наименьшая частота, то z, обратно пропорциональное к в а д р а т у со, будет значи тельно больше всех прочих вследствие чего можно в первом приближении пренебречь суммой г 2 + + • • • + z n п о сравнению с е 1г т. е. вос пользоваться неравенством (4), как равенством. Тогда и и »лучим формулу (1). Вместо с тем дока зано, что, вычисляя по этой формуле, всегда по лучим значение для со, несколько м е и ь ш с с истинного, т. е. соответствующего точному значе нию высшего корня уравнения (6) главы VIII. Другой, более точный метод вычисления основ ной частоты, так называемый метод В и а н е л - ло 1 , заключается в следующем. Зададимся про извольными перемещениями масс те„ пи, ... , т п , обозначив их соответственно через: уі\ ун", •••> уп <) Может (при специальном выборе .системы на чальных отклонений у { п ) случиться, что этот пре дел окажется равным квадрату не основной ча стоты, а одной из следующих частот. 2 10, 2 ' СО,, i (3)

по этим перемещениям вычислим следующие при ближения: уп ' пользуясь формулами (ср. (2а) главы VIII]: п •- X т і а ік Уі" уу- ( = І По этим первым приближениям аналогичным путем находим вторые и т. д. Вообще, имея при ближения (s — 1)-го порядка: 2 / Г Ч 9t l \ „ ( 8 - 1 ) Уп ' находим приближения s-ro порядка по формулам: i = i Можно строго доказать, что предел отношения при s со w ( s - l ) ' lim ( 6) s - > 0 0 ук не зависит от номера к, т. е. от того, для какой массы ѵ іі с мы его вычисляем, и представляет не что иное, как квадрат основной частоты сво бодных колебаний, т. е. lira S-+CO (8) (6а) Доказательство этого положения молено найти у F. Н. van-den-üungen „Les problèmes ge'nêraiix rie la technique des vibrations" (Memorial des scien ces physiques, fasc. IV, Paris, 1928). При практическом пользовании этой теоремой, задавшись системой перемещений и вычислив первое и второе приближения ляем отношения у%\ состав у ^ ^ ^ т м и у ? - » , к = 1 , 2 , . . . ( 5 )

yf

у? у? у? у?

(а)

' W "

у У

у?

(б)

у f " "

'

Если перемещения у к 9 не особенно сильно от личаются от истинных перемещений при колеба ниях основной частоты, то отношения (а) оказы ваются мало отличающимися друг от друга для различных к-, отношения (б) обычно практически столь близки друг к другу, что можно общее зна чение их иринять равным с / Лишь в редких слу чаях приходится вычислять третье приближение и составлять отношения: vf

Числовой пример. Рассмотрим случай балки постоянного сечения, подпертой по концам и за-