Гидротехнические сооружения. Том I

T i l l . ОБЩИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ МАСС, УПРУГО СВЯЗАННЫХ ОДНА С ДРУГОЙ

В развернутом виде получим: 1

До сих пор при расчете мы считали верхнюю раму фундамента абсолютно жесткой плитой. Те перь же нашей задачей явится определение ча стот колебаний, возникающих вследствие упруго сти элементов, составляющих раму. Сначала по ставим задачу в общем виде. Представим себе систему масс т 2 , . . . , і%, свазанных друг с другом при помощи упругих невесомых стержней. Назовем через 1, 2 , . . . , и т. д. точки, в которых расположены первая («г,), вторая (,т 2 ) и т. д. массы. Предположим далее, что рассматриваемая система масс приведена в колебательное движе ние, причем каждая из масс получит ври этом перемещение в определенном направлении 3 + Перемещение массы т к в ее направлении y k , происходящее от приложения в точке і силы, рав ной единице и направленной вдоль Г і ; назовем через а і к . В частности а и есть перемещение точ ки г от единичной силы, приложенной в этой же точке, при чем и сила и перемещение направлены вдоль оси У*. Числа а і к называются коэфициен тами влияния. В каждом конкретном случае они могут быть определены или экспериментальным путем, или путем аналитического или графиче ского расчета по методам строительной механики. Заметим, что на основании теоремы о в 'аимности перемещений (см. например Тимошепко „Сопро тивление материалов", § 115, 8 нздание) а ік- а кі- С 1 ) Для составления уравнения частот воспользу емся началом Даламбера, согласно которому урав нениям движения системы можно придать вид уравнений равновесия, если ввести в число дей ствующих сил, так называемые, силы инерции. В рассматриваемом движении проекция на ось У; силы инерции массы т ( будет равна — щуі - Эта сила вызовет в точке к перемещение в направле нии Y k равное, согласно определению коэфициен тов влияния а { к , —т { ( 1 { к у { . Следовательно пол ное перемещение в этой точке к, обозначаемое через у к от действия всех сил инерции, будет .равно сумме подобных выражений:

О)' — у i + m 2 a. 2l y 2 -+••• + ф-т п а ni y n = 0,

• » Л з Г і + ( т 2 а 2 2 — — 2 ) Y 2 + . . . 4 - + m n a ni y n = 0,

(3)

ыічпуі + "h a m + - - • + + (»»«"»m — j j j j ) Г » = 0 .

Эта система уравнений имеет отличающиеся от нуля решения при условии, что определитель из коэфициентов при неизвестных У г - равен нулю. Мы приходим таким образом к у р а в н е н и ю ч а с т о т : \

1

т 1 а и -

0)2 ' т 2 а 21 , ,. » » »Ан 1

тр 12 ,

Wrflm

т 2 ctgsa - 0)2 '

= 0.

( 4 )

1

т 2 а 2п ... т п а ~ ~ 0) 2

т { а {п ,

Умножив каждую строку этого определителя на g — 9,81 м\сек? и введя обозначения: f 'я m i a ik9 — lik> ^ — *» ( 5 ) приведем (4) к виду:

И _ f 2l , • • fn я 12) f 22 — Z, • • / )»s>

(6)

f(z) =

fІІІУ • •fnn

z

к = 1 , 2 , . . . , « .

(2) '

1»)

< = і

Легко усмотреть физическое значение чисел f ik : f ik есть перемещение в точке к от в е с а тід массы т ( , д е й с т в у ю щ е г о в точке г ; при этом предполагается, что система повернута так, что ось Yi обращена вертикально вниз (по направлению веса щд ). Отметим, что f ik ф f ki . При большем числе масс п решение уравнения (6) представляет громадные вычислительные труд ности. Наибольшей затраты труда требует разво рачивание определителя; например, при « = О определитель будет иметь 1-2-3-4-5-6 = 720 чле нов. Способ, позволяющий сократить число необ ходимых выкладок во много раз, дан академиком А. Н. Крыловым („О численном решении уравне ния, которым в технических вопросах определя ются частоты малых колебаний материальных си стем", издательство Академии наук СССР, 1932).

Полагая, что движение является гармониче ским колебанием частоты ш, имеем: Уі = у» cos (wf + a) , Уі — — 0)2 у . COS (wt 4 а) , подстановка в (2) дает

уі

Г к = » » 2 > < а " с

или

(2а)

Е « і ' « а Г і - 5 = 0 .