Гидротехнические сооружения. Том II

Эти же уравнения имеют место для движени вязкой жидкости под действием силы тяжестк так как сила тяжести, как известно, имеет потен циал U = — gz. Уравнения (214) дают возможность сделать опре деленные заключения о характере возникновения и распространения вихревого состояния в вязкой жидкости. Если в какой-либо момент времени для какой нибудь ТОЧКИ ЖИДКОСТИ и> х = Шу = Ш Г — 0, т уравнения (214) обращаются в dut x dt duty Til dut z dt • Ѵ ш . ѵ ѵ -уЧг (215) Первые части уравнений (215) могут не обра щаться одновременно в нуль для рассматриваемой точки. Отсюда следует, что эта точка в следующий момент будет двигаться вихревым движением. Таким образом закон сохранения вихрей Гельм гольца для вязкой жидкости, вообще говоря, не имеет места. Далее, из теории функций известно, что если функция трех переменных х, у, s и параметра t обращается в нуль для частного значения внутри какой-либо замкнутой поверхности, то внутри по верхности обратятся в нуль и все частные производ ные этой функции. В точках же самой поверхности эти частные производные могут в нуль не обра щаться. Применяя это положение к уравнениям (215), можно окончательно заключить: образование вихрей в вязкой жидкости может происходить только под влиянием внешних сил, имеющих потенциал, причем вихрь будет возникать у ог раждающих жидкость стенок и распространяться вглубь жидкости. Уравнения (214) и (215) имеют то же самое строение, что и диференциальные уравнения диф фузии и теплопроводности. В этих уравнениях скорость распространения диффузии или пере дача тепла регулируется коэфициентом, аналогич ным V в (215). Поэтому, по аналогии, можно ска зать, что вихревое движение диффундирует внутрь жидкости так же, как диффундирует растворенное в жидкости вещество или проводится тепло. А. И. Некрасовым было показано, что вслед ствие диффузии вихрь в вязкой жидкости быстро ослабляется и вихревое движение весьма скоро оказывается неощутимым. Здесь необходимо подчеркнуть обстоятельство, присущее как уравнениям диффузии и теплопро водности, так и уравнениям распространения вихревого движения. Согласно этим уравнениям оказывается, что вихревое состояние, так же как н в уравнениях теплопроводности изменение тем пературы, распространяется не в виде волны с конечной скоростью распространения, а мгновенно. Как показал А. И. Некрасов, этот парадокс может быть связан с тем обстоятельством, что при выводе диференциальных уравнений гидро динамики не учитывается до конца молекулярное строение материи. Вообще следует предполагать, что все проблемы механики континуума, в том числе и гидродинамики, найдут свое наиболіь полное решение только при увязке основных, чисто механических предпосылок, с теорией строения материн, основанной на достижениях физики атома.

2. Если поверхность обтекаемого тела симме трична относительно потока (например цилиндр, перпендикулярный потоку), то вихри Кармана, сбегающие с симметричных сторон, будут обла дать равными интенсивностями и противоположны направлениями вращения. Если же поверхность тела не симметрична относительно потока, то вихри, образующиеся от распада пограничного слоя, прилегающего к несимметричным частям, в сочетании с вихрями Кармана дадут некоторую отличную от нуля циркуляцию. Так как по основ ным теоремам теории вихрей общая циркуляция должна быть равна нулю, то около тела должна образоваться система вихрей, с циркуляцией, компенсирующей избыток циркуляции срываю щихся вихрей. Эту систему вихрей, которая образуется около тела, можно рассматривать как присоединенные вихри. Она называется несущей системой. 3. Вихри несущей системы, как всякие вихри, не могут оканчиваться на поверхности тела, а должны уходить в бесконечность или образовы вать вихревые кольца. Поэтому, в случае тела конечных размеров, продолжения этих вихрей выйдут за пределы тела и, уносясь потоком, об разуют подобие вихревых усов, уходящих по обе стороны тела по направлению потока в беско нечность. Эти вихри называются свободными. Образование всех этих трех вихревых систем требует затраты энергии, запасом которой должно обладать обтекаемое тело. Последнее обстоятель ство чрезвычайно важно для авиации и кладется в основу аэродинамических расчетов самолета. д) Вихри в вязкой жидкости Вихревое движение вязкой жидкости суще ственно отличается от вихревого движения иде альной жидкости. В идеальной жидкости господствует закон со храняемости вихревого движения, который ока зывается неверным для случая жидкости вязкой. Путем ряда преобразований основные уравне ния движения вязкой, несжимаемой жидкости могут быть приведены к следующему виду дли случая внешних сил, имеющих потенциал: do>у ди Т Ж Г ^ ' З у 7 + < + ди dut v д ѵ д ѵ Т. ди , + < T 7 5 F + д ѵ

dz

ду V • у'-'ш y dw 1- Ut y •

(214)

dut z rit

dw

dw "dz T

— Ut y- ^

• — [ и , ) ' -

dy + v - vVs

dx

яри условии, что OU Ox' X = •

dJJ_

dU ' dz'

Z -

' ду

В этих уравнениях:

U — потенциал внешних сил; и, V, w — компоненты скорости

чо.,, иіу

— компоненты вихря; V — кинематический кбэфициент вязкости.