Гидротехнические сооружения. Том II

Рассматриваемый участок поверхности тела, к которому прилегает пограничный слой, можно принять плоским (можно показать, что учет кри визны поверхности тела не изменит окончатель ных результатов). Пусть ось ОХ совмещена с поверхностью тела (принимаемою плоской), а ось OY направлена по нормали к ней. Обозначим весьма малую толщину погранич ного слоя через 3. Так как и есть проекция ско рости на ось OX, V—н а ось OY, то, очевидно, что и меняется в направлении оси ОХ гораздо меньше, нежели в направлении оси OY. Отсюда д'и следует, что величина —- а чрезвычайно мала по д*и сравнению с На этом основании в сумме _ дх* ' дкі dy 3 д*и дх*' Тогда первое уравнение системы (209) можно написать в виде ди и 3 дх— ди , � _ . ду 1 др . &>и р дх 1 ду 3 ' При помощи аналогичных соображений можно показать, что при малой толщине слоя о все члены второго уравнения малы по сравнению 1 др „ с ч л е н о м - - - — - и могут, кроме него, быть отбро шены. Таким образом от второго уравнения (209) остается 1 др р = const. Этот важный результат показывает, что давле ние в пограничном слое не зависит от у , а зави сит только от X, иначе говоря, внешнее давление передается на пограничный слой целиком без из менений. Окончательно, таким образом, в пределах по граничного слоя Прандтля уравнения Навье Стокса могут быть приближенно заменены систе мой ди , ди и -j V = дх ' ду _L d JL Р дх + (Pu v " ду* Прандтля. Общий метод приближенного интегрирования уравнений Прандтля при помощи степенных рядов был указан Блазиусом. Прандтлем уравнения (210) были проинтегрированы для случая обтекания пластинки. В этом случае Прандтль показал, что система (210) диференциальных уравнений с част ными производными может быть сведена к обык новенному днференцналыюму уравнению 3-го порядка. можно отбросить член или - â— = 0; + Oy дх ду • ( 2 1 0 ) Уравнения (210) называются уравнениями

Лобовое сопротивление шара, рассчитанное со гласно этим формулам, будет (208) Решения Озеена были получены им при помощи метода, заключающегося в замене диференциаль ных уравнений гидродинамики интегральными, т. е. такими, в которых неизвестные функции входят под знаком интеграла. Интегральные уравнения гидродинамики Озеен •составляет, применяя основные теоремы механики (начало Даламбера, теорема импульсов и т. д.) к конечному объему, выделяемому в движущейся вязкой жидкости, причем он широко пользуется известной функцией Грина. Метод Озеена приводит к чрезвычайно слож ным выкладкам, и поэтому полученные им реше ния имеют из-за своей громоздкости больше тео ретическое значение, нежели практическое. в ) Теория пограничного слоя Прандтля Согласно Прандтлю, при обтекании твердого тела маловязкой жидкостью образуется тонкий слой (пограничный), прилегающий к поверхности тела. Внутри этого слоя происходит резкое изме нение скорости жидкости: от нуля — на поверх ности тела до скорости окружающего потока — на внешней границе слоя. Внутри слоя Прандтля течение может быть слоистым (ламинарным) или беспорядочным (турбулентным), или наконец весь слой можно рассматривать как область, заполненную вихрями, сорвавшимися с поверх ности тела. Образование ламинарного или турбулентного течения зависит — для гладких поверхностей—от так называемого числа Рейпгольдса (см. ниже). Третий же случай, как показывает опыт, может иметь место для сильно шероховатых поверхно стей. Теория Прандтля дает картину движения только для ламинарного течения. Для турбулентного течения Карманом была показана возможность построить довольно законченную теорию, до полняя чисто теоретические соображения данными опыта. Для случая сильно шероховатых поверх ностей нет пока никакой общей теории. Идея пограничного слоя известна в науке чрез вычайно давно, но Прандтль первый придал этим представлениям форму количественных зависи мостей. Ограничимся наиболее важным для практики случаем плоскопараллелыюго установившегося потока. Пренебрегая массовыми силами А', К, Z из уравнений Навье-Стокса. получим

ди дх

, du 1 ду - f - V -.у- =

1 dp , [> дх ' я— +

д ѵ дх

д ѵ

1 dp f ду

и я + �

= •

(209)

Oy

, (cPv

(Po i

дх ' ду