Гидротехнические сооружения. Том II

вследствие чего скорость их равна нулю. Точ ными опытами было установлено, что скольжения жидкости по поверхности тела не наблюдается. Іакнм образом пограничными условиями задачи об обтекании шара будут два: 1) на поверхности шара скорость жидкости Равна нулю, т. е. и = V = да = О при г = г 0 ; 2) в бесконечности скорость направлена по отрицательному направлению оси ОХ, при г—<ж,

обращался в шар. Как частный случай решения для эллипсоида, получалась также сила лобового сопротивления круглой пластинки с диаметром d, перпендикулярной к направлению потока. В этом случае: К = 8р. dqя,. б) Исследования Озеена и уточненное решение задачи Стокса Решение Стокса для шара обладает, как легко видеть, следующим существенным недостатком. Согласно этому решенню оказывается, что рас пределение скоростей при обтекании шара не зависит от вязкости жидкости, что вряд ли со ответствует действительности [см. первые три уравнения системы (204)]. Малая практическая пригодность решения Стокса заставила ряд исследователей (Уайтхед, Озеен) попытаться дополнить систему упрощен ных диференциальных уравнений (202), решенных Стоксом, пренебреженными ранее инерционными членами. Наиболее удачные попытки принадлежат Озеену. Озеен показал, что в отбрасываемые члены, наряду с действительно иренебрежнмыми, входят и такие, которые в достаточном удалении от шара приобретают существенное значение. Уравнения (202) Озеен на основании своего анализа заменяет следующими: 1 др_ Р дх • ' / х ди дх Г V • уЫ

» = -

где

Г = Ѵ л' 2 +y* + z*. Точно так же должно быть задано заранее дав ление в бесконечности, p = p œ при г = со.

д ѵ

1 др р ду 1 dp

(206)

Рис. 3 !

При этих условиях уравнения (202) были про интегрированы Стоксом. Решение Стокса имеет вид:

dw

Интегрируя эти уравнения, Озеен уточнил ре шение Стокса. Решение Озеена имеет вид:

4«, (г + *)_ 2 ѵ

1

,

3 /у/ »

•

i 1

4 / ~ 4

Чл (Г -Г X) 2»

f . .ІІЛ

г аЧж,

ху

(204)

H )

Д>'/со Ж • O S ) "

Ох

- Т ' ^ Й г

( у )

W / x

X

P=Pœ

+ ~2

lui V + -Г)

d 1

Уравнения (204) дают распределение скоростей И давления в жидкости, обтекающей шар. Силы, с которыми жидкость будет действовать на шар, сведутся к равнодействующей К, направленной Чо оси ОХ в силу симметрии. Эта сила может быть вычислена интегрирова нием последнего уравнения системы (204) по по верхности шара, в результате чего получается АГ=6 - , х / ѵ /оо- (205) Формула (205) называется формулой Стокса. Очевидно, формула (205) дает также величину лобового сопротивления, испытываемого шаром при его движении в вязкой жидкости со скоро стью q œ . Впоследствии была решена задача об обтека нии эллипсоида (Лемб), причем решение Стокса получалось как частный случай, когда у эллип соида все три оси были равны, т. е. когда он

2" v r ° ду i

d 2 (r)

. (207).

Чл (г + x)

d

1-е

W = -

2 •""«

dz

1

<>-

Т Го9 °°'дШ

: Px

2

^ H i

( 7 - 1 ( 1 )X'\ r

• !>r Q q t