Гидротехнические сооружения. Том II

щугася) часть полной энергии единицы массы жидкости, получаем:

слое обтекаемых жидкостью тел открывает при - м е н и м о с т ь п о т е н ц и а л ь н о й ф о р м ы д в и ж е н и я в я з к о й ж и д к о с т и к р е ш е - н ию п р а к т и ч е с к и х и т е о р е т и ч е с к и х з а д а ч о д в и ж е н и и т в е р д о г о т е л а в в я з к о й ж и д к о с т и . При установившемся движении из уравнений (199) можно иолучить интегральное соотношение, аналогичное уравнению Бернулли для идеальной жидкости. При установившемся движении несжимаемой жидкости ди_ д ѵ _ dw _ . ~dt ~dt ~дТ * '

d { u + v M ) = - d R '

или

R = const.

(201)

Уравнение (201) называется обобщенным на вязкую жидкость уравнением Бернулли. Строго говоря, функция R определена на какой-либо из линий тока и меняется при переходе от одной линии тока к другой. В гидравлике уравнение (201) является основным, так как в R включаются все гидравлические сопротивления, определяемые частью теоретически, частью экспериментально. 2. ОБТЕКАНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ а) Обтекание шара (задача Стокса) При обтекании твердого тела вязкой жидко стью уравнения Навье-Стокса могут быть проин тегрированы для тел простейшей формы при не которых упрощающих условиях. Эти упрощающие условия заключаются в пре небрежении силами инерции по сравнению с сила ми вязкости. Практически это отвечает случаю жидкости с очень большой вязкостью или очень малым скоростям обтекания. На этом основании в уравнениях Навье-Стокса можно отбросить инерционные члены, получив шиеся от диференцирования скорости по времени, т. е. считать левые части уравнения (195) равными нулю. Тогда, пренебрегая массовыми силами, по лучаем систему уравнений 1 dp г — = V • у * и f дх Гдр^ р ду 1 Эти уравнения были проинтегрированы Стоксом в 1851 г. для случая обтекания шара. Пусть посту пательный поток вязкой жидкости обтекает не подвижный шар радиуса r œ , в центре которого помещена система прямоугольных координат OXYZ (рис . 31 ) . Пусть скорость потока в бесконечности идет в отрицательном направлении оси ОХ и равна (203) Эту задачу можно обратить согласно принципу относительности классической механики, т. е. предположить, что поток неподвижен, а шар вместе с координатной системой движется в по ложительном направлении оси ОХ с той же скоростью. Общим пограничным условием при движении вязкой жидкости, обтекающей твердое тело, будет то, что частицы, непосредственно соприкасаю щиеся с поверхностью тела, прилипают к ней, too- ! dp о dz і • (202) div q du дх dv dw + ~dy + Hz 0

div q = 0.

Умножая уравнения (199) соответственно на выражения

tlx — и dt, dy — V dt dz = w dt

и складывая, получаем: ä ( A q*j — X dx -f-

Ydy+Zdz—+

4 V (199') При существовании потенциала внешних сил U имеем: у ди. . dx + • dy + y 2 w • dz\.

ÔU ду ; OU 'dz '

Y— —

z

=

Тогда из (199'):

d ( U 4

•• V [у*и • dx -j- y"v•dy 4 y*w• dz).

(200)

Уравнение (200) есть дифереициальная форма теоремы живых сил: U есть потенциальная энергия, отнесенная к единице массы протекающей жидкости; р — энергия, также отнесенная к единице массы, Источником которой являются силы гидродинами ческого давления; q* тс — кинетическая энергия, отнесенная к еди нице массы. Девая часть уравнения (200) ничем не отли чается от уравнения Бернулли для идеальной жидкости, которое гласит, что сумма трех выше упомянутых видов энергии есть величина посто янная. Уравнение (200) показывает, что в случае вязкой жидкости полная энергия единицы массы жидкости меняется. Обозначая условно правую часть уравнения (200) отрицательным диферен циалом некоторой функции, представляющей собой преобразующуюся в теплоту (рассеиваю-