Гидротехнические сооружения. Том II

Метод этот был указан в 1904 г. Прандтлем и оказался чрезвычайно плодотворным для даль нейшего развития гидро- и аэродинамики. Третий метод упрощения уравнений Стокса Навье заключается в замене их другими, более простыми, но одинаково применимыми ко всему пространству, занятому жидкостью. Этот метод принадлежит шведскому ученому Озеену и заклю чается в замене уравнений Навье-Стокса, являю щихся нелинейными диференциальными уравне ниями, другими, но уже линейными. Более подробно об этом методе будет сказано ниже. б) Интеграл установившегося движения несжимаемой вязкой жидкости (обобщенный интеграл Бернуллн) Не входя в подробности методов интегриро вания Прандтля и Озеена, можно для движения вязкой жидкости дать некоторые интегральные соотношения при известных упрощающих пред положениях. Для этой цели удобно взять уравне ния движения идеальной жидкости в форме Лемба-Громеко и дополнить их членами, учиты вающими влияние вязкости. Тогда получится: ди dt • 2 (уш- — wwy) •

Напряжения в цилиндрических координатах имеют вид:

"Яг

дг '

д q..

dq r

( d J '/a

q r

(198)

_

àq z

, д Я0

Рьг =

+

dq ± i)r

( dir V dz

Общая задача гидродинамики в приложении к случаю вязкой жидкости сводится к интегри рованию уравнений Навье-Стокса, т. е. к нахожде нию компонентов скорости и давления, при соблю дении заранее известных граничных и начальных условий, а также уравнения неразрывности. Поставленная в таком виде общая задача гидро динамики вязкой несжимаемой жидкости в общем виде неразрешима при настоящих средствах математического анализа. Поэтому приходится прибегать к методам приближенного решения. В настоящее время можно указать три таких метода. Первый метод основан на том, что для некото рых задач вязкость жидкости р. очень мала, и поэтому в уравнениях Навье-Стокса члены, содержащие вязкость, можно отбросить. В резуль тате получаются уравнения движения идеальной Жидкости. При этом остается нерешенным достаточно Удовлетворительно вопрос о давлении потока на погруженное в нем тело. Далее, возникновение вихрей в идеальной жидкости механически не объяснимо с точки зрения теорем Гельмгольца и Томсона. Главное нарушение уравнений идеаль ной жидкости происходит вблизи границы погру женных в нее тел, где величина ру-'^ даже при малой вязкости все же настолько отлична от нуля, что пренебрегать ею нельзя. Это обстоятель ство было на ряде примеров показано Озееном. Перейдем ко второму методу. Вдали от границы твердого тела, погруженного в жидкость, при малом ц уравнения вязкой жид кости могут быть заменены уравнениями идеаль ной жидкости. Вблизи же границ твердого тела действуют уравнения вязкой жидкости. Эти соображения привели Прандтля к разра ботке метода приближенного интегрирования уравнений Навье-Стокса для малых р.. Сущность этого метода состоит в том, что влияние вязкости учитывается только в тонком слое жидкости, при легающем к поверхности твердого тела; вне этого слоя жидкость рассматривается как идеальная. Этот слой называется пограничным и является местом зарождения вихрей. Толщина погранич ного слоя очень мала, и это обстоятельство позволяет ввести существенные упрощения в уравнения Навье-Стокса и приближенно их интегрировать.

р дх

1_

q 2 1 — 2 (wa x — Нш,,)

dt + ду

2 1 dp P dv

(199)

Y -

dw "77

- 2 (way — V(o x ) =

1 Ф

y

д ...

,

I

I v

= z ~ 7 7 7 + v '

+ T 7F { d i v (/)

Если предположить, что вязкая жидкость может двигаться с потенциалом скорости 9, то уравне ния (199) можно значительно упростить. Действи тельно, в этом случае компоненты вихря 0) х ш^у (і) ^ = 0 . Далее, простым диференцированием можно показать, что О V 3 'f = д у* и = дх дх 1 dz' Из этих равенств следует, что для несжимаемой жидкости ( d i v ? = 0) в уравнении (199) пропадают члены, содержащие вязкость. На этом основании можно сделать важный вы вод, что д в и ж е н и е в я з к о й ж и д к о с т и с п о т е н ц и а л о м с к о р о с т е й и д е н т и ч н о с д в и ж е н и е м и д е а л ь н о й ж и д к о с т и . Можно доказать, что такое движение будет, вообще говоря, неустойчивым, но идея Прандтля сконцентрировать силы вязкости в пограничном Ѵ 2 ѵ = д д ду у 2 9 = ду у 2 V = д д dz V s * =