Гидротехнические сооружения. Том II

ствием массовых сил, имеющих потенциал U, уравнения (195) обращаются: ди , да , ди , ди s t + " s И- я - + ш-я- = dt дх 1 ду dz

Можно далее доказать, что Рхх + Руу + Pzz (193') Складывая теперь (193) и имея в виду (193'), получаем 3). — 2р = 0 или ' (194') Составим теперь уравнения движения элемента' применив принцип Даламбера. Так как р Х х должны быть непрерывными функ циями координат, то составляя уравнения проек ций на ось ОХ для сил, действующих на пару граней, перпендикулярных оси ОХ, получим du Р 7it :Х + dpi дру ѵ , дргх й ѵ " т " дх ' ду ' dz ' где: А—компонент по оси ОХ внешней массовой силы, Р— плотность жидкости, и аналогичные уравнения для других осей. Заменяя du Ou , du , du . Ou • + и - г - -4-0 -л— 4-да I 0 Х я„ dt dt ду dz ...и т. д. и подставляя значения р хх • • • из (193) и (194), окончательно получаем уравнения движения вяз кой жидкости, носящие название уравнений Навье-Стокса, которые их вывели впервые: ди , ди 1Г + и 17 X — ди . ди дх р i 1 Р д . . . —. -3/>•

1 d(p + U) Р дх д ѵ д ѵ

-j- v • и dw л-W- -

д ѵ

=

öt+"

(195')

dy

P

dw .

dw , дх '

dw .

dw dz

4- и -=

h v -.,-— h w

=

dt

ду

Я �

r

- v • y 2 W 1 d(p + U) P dz или в векторной форме, на основании известного из векторного анализа соотношения, у 2 q = grad dlv q - так как rot rot q — — rot rot q, div q =• 0, 4 f = - i g r a d (p + U)- v•rot rot q В цилиндрических координатах (/•, ü, z) уравне ния движения вязкой жидкости обращаются в dq r dq r qq дЧг _ Яц_ , ~df г дг + г д0 г &q r Яд dq r 60 1 д(р -\ -U) _ div <7 = 0 .(195")

дг 1

р Яг

д ѵ .

д ѵ ,

д ѵ ,

д ѵ

д% дг 2

1 dq r г дг

ST i " -з

г v s~ + w s~

/-2 <№

А 1 Щ г dzi

• dt '

dx 1

dy '

dz

(195)

. 2

Ôq L

dy p. 0

U 60

1

дяо 1Г "V /г дг дЯо

+ i f

& ( d i V 9 )

г Er

г~ дЪ +

dw . s r + "

dw . dx 1

dw .

dw s ~ :

h v s —f- w

dq ()

d(pf;U)

1

dt

dy

dz

1

" f Яг "ДГ" — dz

. р

-ля rdft

"Ь

ÈL dz + - f v'

Z-

J w 4 -

(197)

1 <)

яо 7 а +

+

- 1 1 ~Ъ7 Г

2_ г 2 60

где символ v 2 означает операцию

}

Лш

pa 60 2 дЯг 1 7 '

6*- J

дЯг , д Г + ^

6.V 2 ' 6 / 2

r 6Z

, Я(, dq 2

dq z

Ѵ

+ Яг dz - =

Величина

Ь--ЯГ г

60

6 (196) была введена Максвеллом и называется кинема тическим коэфициентом вязкости. Размерность ее есть: м = см»j сек — в системе CGS и [ ѵ ] = мЦсек — в технической систему. Для несжимаемых жидкостей di ѵ ^ = 0 и по следний член правой части (195) пропадают. Для несжимаемых жидкостей, находящися под дей i = v

U)

1 6(р

dz

р 1 dq z

+

' J

дг Л> ~ г* , Яг ,

6z 2

60» 1 6-/ 0 г 69

-

dq r

div q = •

Ö2

6л