Гидротехнические сооружения. Том II
II. ГИДРОДИНАМИКА вязкой жидкости
Силы гидродинамического давления, действую щие на грани этого параллелепипеда, уже не будут нормальны к ним. Условимся обозначать силы давления на грани, перпендикулярные осям ОХ, OY, OZ, т. е. на площадки dy dz, dz dx, dx dy, через p x , p y , p z , а проекции этих сил на оси координат — р хх , p xy , p xz ; р ух , р уу , p yz ; p zx , Pzy, Pzz Очевидно, в случае идеальной жидкости имеем.
I. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА а) Вы в о д уравнений движения вязкой жидкости Во всех вопросах, разобранных в гл. I, пред полагалось, что жидкость совершенно лишена сил внутреннего трения. При этих условиях силы, действующие в жидкости на некоторые выделен ные в ней поверхности, — силы гидродинами ческого давления — всегда нормальны к этим поверхностям. Иначе говоря, в идеальной жид кости касательные усилия отсутствуют. В дей ствительных жидкостях и газах сила внутреннего трения, как бы мала она нн была, все же отлична
Рх — Рхх, Рху = Рух = 0, Ру — Руу; Pyz = Pzy = о, Pz = Pzz, Pzx — Pxz — 0.
Матрица из девяти величин (Рхх Рху Рхг\ Рух Руу Pyz \Pzx Pzy Pzz)
от нуля, так как всякая реальная жидкость обла дает вязкостью в боль шей или меньшей сте пени. Вязкость сказывается прежде всего в том, что в жидкости появляются касательные усилия. Эти
Рис . 29
образует тензор, называющийся тензором напря жений. Можно доказать, что образованный таким образом тензор сймметричен. Этот тензор складывается из трех частей: 1) гидростатического давления р, нормального' к каждой площадке, которое существовало бы в покоящейся жидкости; 2) нормальных напряжений, возникающих благо даря объемному расширению жидкости и про порциональных ему в случае ее сжимаемости; так как жидкость изотропна, эти напряжения будут одинаковы для
усилия появляются только при движении жидкости и учитываются по закону, высказанному в каче стве гипотезы впервые Ньютоном. Этот закон устанавливает следующее: пусть жидкость дви жется слоями, параллельными некоторой пло скости ^ (рис. 29). Вследствие вязкости скорости этих слоев будут различны. Если на границе двух слоев выделить площадку (Is, то сила вязкого трения dF, разви вающаяся на этой площадке, равна —произ водная от скорости по нормали п к площадке ds, т. е. относительное приращение скорости на единицу длины нормали; р — коэфициеит пропорциональности, которым устанавливается степень вязкости жидкости. Сила трения, отнесенная к единице площади, равна т, и из (191) dF ds ÉL dn ' (192) t называется интенсивностью или напряжением силы вязкого трения; р называется абсолютным коэфициентом вязкости и имеет размерность, легко устанавливаемую из (191) или (192): 2 [р] = в системе COS и см • сек , . s кг/сек* „ ... ,, .. Р , [р.] = — в системе технической (MKg*S). Значения р. для различных жидкостей и газов помещены в справочниках физико-химических констант. Влияние вязкости существенно изменит дифе ренпналыіые уравнения движения жидкости, выведенные ранее, именно благодаря появлению касательных усилий. Выделим в движущейся вязкой жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям координат ОХ, OY, OZ (рис. 30). dF = it. ~~ -ds, dn (191) da p. 1 _ г де :
всех площадок, объем ное расширение равно и, - д " div q — ' ox д ѵ . dw и возникающие усилия будут X div q, где X — коэфициеит пропорцио нальности; 3) дополнительного тен зора напряжений, компо
Рис. 30
ненты которого будут пропорциональны соответ ствующим компонентам тензора деформации, при чем коэфициеит пропорциональности возьмем для удобства в виде 2р. Тогда получаем:
du дх
dv Ту д ѵ _ ду
Рхх = -
du
. . (du
(193)
Руу =
dw\ , .
- / ' + > • (
д ѵ ду
dw
0и_ дх +
л +
Pzz —
(du . dv\ Р>у=-~Рух = \7, д у 7 i / x )
/ dv , dw\
Pyz — Pzy
»('OJ+W
dw , du j
Pzx=Pxz
= ^ [ ~ T
dz
Made with FlippingBook - Online Brochure Maker