Гидротехнические сооружения. Том II

Как было ранее сказано, все решения задачи о волновом движении жидкости носят прибли женный характер. Точная теория поверхности волн с потенциалом скоростей дана лишь в 1922 г. независимо друг от друга, разными методами, А. И. Некрасовым и Левн-Чивита. Точная теория волн на поверхности раздела двух разнородных жидкостей дана Н. Кочиным. В жидкости возможны еще волны разрыва, т. е. движения поверхностен, разделяющие два раз личные состояния жидкости. Теория таких волн была создана Гюгонио и Гадамаром. Если отношение мало, то приближенно

Приближенное уравнение траектории частицы с координатами х 0 , имеет вид Лкг, (178) где ( л — х й ) г + (z —2 0 ) 2 = а-е 1

(178')

а = •

Уравнение (178) показывает, что траекториями частиц жидкости являются окружности, радиус которых равен ae kz " и уменьшается с глубиной, так как ось нанравлена вверх. Все вышесказанное относится, вообще говоря, к волнам с бесконечно малой амплитудой. Волны с конечной амплитудой—при условии отсутствия вихрей — создадут траектории частиц более слож ного вида. Случай круговых траекторий в волновом дви жении с конечной амплитудой был рассмотрен Герстиером и Рэнкином. В этом случае, оказы вается, движение должно быть вихревое, что уменьшает физический интерес полученного ими решения, так как волновые движения идеальной жидкости, обусловленные силами, имеющими по тенциал (в том числе и сила тяжести), обязательно должны быть безвихревыми. Профилем волны является в данном случае трохоида, перемещающаяся со скоростью (рис. 28). _ л I т В случае волн при конечной глубине жидко сти h из формул (167—169) получаются для по тенциала скорости ср, профиля волны С, периода колебания т и скорости распространения волн с следующие выражения: для стоячих волн

tg hyp :

и из (182):

с — V (182') т. е. в этом случае скорость распространения не зависит от длины волны. Такие волны называются длинными. gh.

Рис. 28

б) Энергия воли Чрезвычайно важным является вопрос об энер гии волн. С этим вопросом, как будет видно ниже, связана задача о так называемом волновом сопротивлении тел, перемещающихся в жидкости с образованием волн. Энергия волн слагается из кинетической энер гии движения отдельных частиц жидкости и из потенциальной энергии, происходящей от того, что центр тяжести жидкости при ее волновом движении лежит выше, чем при равновесии. При безвихревом движении, т. е. при сущест вовании потенциала скорости <р, вычисление энер гии, приходящейся на длину волны приводит к следующим результатам. Кинетическая энергия, приходящаяся на длину) : X V Т = \ [ > J " 9 V dx. (183) о Потенциальная энергия, приходящаяся на дли ну ).:

cos hyp k(z + h)

Ѵ =

a

cos hyp (kh)

л

(179)

X sin kx cos at, С = a sin kxzos, at, 275 275

(180)

Vg ^ t g hyp (kh)

/ 2it>. g i g hyp

(181)

2 75 À

для прогрессивных воли ag cos hyp k (z 4- h) 4 = — - — - - cos hyp (kh) a

р g j С 2 dx.

(184)

— • sin (kx -f- at),

(i79' i

1

Так например для волн в жидкости конечной глубины имеем: стоячие волны 7 - 5 = ^ c o s 2

: = a cos (kx + at),

(180')

(185)

k - V

k

~

r

2i5h

V =

s in- at; 4

(182)

(186)

- У

f t g b y p

x