Гидротехнические сооружения. Том II

Полагая для простоты Ç = 0 и S = 0, получим <р (JC, у, s, t) — се кг s i n kx c o s hat. ( 1 7 0 ' Вид свободной поверхности найдется из урав нения (162'): Ï = a sin kx sin at, (171) где ca Уравнение (171) изображает в каждый момент синусоиду (рис. 27). Точки пересечения синусоиды с осью лг-ов на зываются узлами, а вершины синусоиды — пуч ностями. Расстояние между двумя узлами есть Величина = X (172) называется длиной волны. Профиль волны представляет синусоиду, ампли туда которой меняется по закону a sin at. (173) Период колебания т, в течение которого ампли туда меняется от максимума до минимума, назы вается периодом волны: Длина волны X и период колебания связаны соотношением 2« (175) Такие волны, определяемые уравнением (170'), называются стоячими. Траектории частиц и линии тока могут быть найдены обычным путем, так как потенциал ско рости с? известен. Задаваясь потенциалом скорости в виде тех или иных периодических функций, можно изучить различные типы плоских волн. Так например выражение р = ce kz sin (kx -f- <*t) (176) определяет такое безвихревое волновое движе ние, при котором вид свободной поверхности, оставаясь неизменным по форме, будет переме шаться в определенную сторону. Вычисление ско рости с этого перемещения, иначе говоря, ско рости распространения волн, приводит к следую щим результатам: <•"» Волны, определяемые уравнением (176), назы ваются прогрессивными. Необходимо отметить, чго п е р е м е щ а е т с я т о л ь к о ф о р м а с в о б о д н о й п о в е р х - н о с т и , с а м и же ч а с т и ц ы ж и д к о с т и с о в е р ш а ю т л и ш ь м а л ы е к о л е б а н и я о к о л о п о л о ж е н и й р а в н о в е с и я . ^ / - 1 - / 1 = 4 - f i - • 2к (174)

Свободная поверхность определяется уравне нием 1 др(х,0,0 dt ( , 6 2 - ) где С — отклонение жидкой частицы от положе ния равновесия. Все эти уравнения являются диференциаль ными уравнениями безвихревого волнового дви жения идеальной жидкости под действием силы тяжести. Иногда вместо того, чтобы найти, какое движе ние произойдет при заданных первоначальных условиях, находят движения, периодически повто ряющиеся, т. е. волны в собственном смысле этого слова.

Рис. 27

Для этого предполагаем, что <р есть периоди ческая функция вида ? (х, у, z, t) = cos (at + ß) ф (X, y, Z). (163) При этом легко показать, что Ф(х,у, z) удо влетворяет уравнениям Ѵ 2 Ф = 0. Ma неподвижных границах дФ (164)

= 0

(165)

On

дФ dz

(166)

( f ® )

при z = о-

Из уравнений (164—166) следует, что жидкость будет испытывать гармонические колебания. Рассмотрим случай плоских волн. Если колебания жидкости происходят в пло скостях, параллельных плоскости XOZ, то пре дыдущие уравнения обращаются в

(167)

? (х, у, t) = COS (at + ß) Ф (X, z) (РФ _ дх' ~ 'dz» ~

(167')

На неподвижный границах £ - 0 дп При 2 = 0,

(168)

(169)

dz

g

Для безграничной жидкости (практически для жидкости с большой глубиной по сравнению с длиной волны) частный интеграл может быть взят в виде