Гидротехнические сооружения. Том II

круг радиуса, равного единице, с диаметром, расположенным ио действительной оси. Для этого полученный полукруг нужно повернуть на 90° и радиус уменьшить в q 0 раз. Операция поворота на угол р достигается, как известно из теории функций комплексного переменного, умножением г® на е - • Отсюда следует, что преобразующая функция есть На плоскости ш полукруг примет вид, указан ный на рис. 22. Этот полукруг с радиусом, равным единице, на плоскости ш можно конформно отобразить на полуплоскость t с помощью известной уже функции / = І Л в + І Л . (138) При этом, как видно из формулы (138), точкам А, В ь В г , С плоскости w соответствуют точки оо, —1 , 4 - 1 , cos a действительной оси плоскости t (рис. 23). © На эту же полуплоскость t можно отобразить функцию W путем следующих соображений. На свободных струях АВ Х С и АВ 2 С функцию тока можно приравнять нулю, т. е. ф = 0; точно.так же можно положить, что линия < р = 0 проходит через точку А. Это всегда можно сделать, так как обе функции р и ф определяются с точностью до про извольного постоянного. При построении нужно предположить, что пло скость W разреза на положительной части действительной оси, как указано на рис. 23, и что изображения струй AB,С и AB.fi находятся по раз ным краям разреза. Из сравнения плоскостей t н W видно, что одному значению W соответ ствуют два значения t. Теперь уже можно совместить точки плоско стей t и W, связав их зависимостью: £2 I ѵ = — . — гте-. (139) (/ — COS ay Эта функция очевидно переводит точки полу плоскости t в соответствующие точки W. Коэфи цнент к' 1 зависит от ширины пластинки и будет найден несколько позднее. Теперь нужно с помощью формул (136), (137) н (138) связать z и W, исключив промежуточные функции m и і. После выкладок оказывается: dW . Г Ч = и — і ѵ — = іЧо cos a 4 - dz i • Чо Чо (137) в х ^ \ 4 4 4 Св, Рис. 2 2 Рис. 23

dz ' dW

t Чо

COS a -f- V

W

V

I

k V

,

+

(140')

) — 1

COS a 4 -

V w .

Интегрируя (140'), получаем w i Чо о z = •

COS a 4- •- -— _)_

4 - : j / ( c o s a + . - ^ - l j . r « të* I W . 2 ,

COS a S i n 2 et

те

1

Sin 2 a . y W — COS a

y — a

X

sin 2 а V

Sin 2 a

la • У/W + 1

6 2 J +

X

i

1 \ "sin 2 a а Г С S l n ^ — / г - c o s a j . , ( Sin 2 a , r-rrr.

(141)

Отделяя действительные и мнимые части (141), можно узнать значения р, ф в точ ках В х (0, h x ) и Д 2 (0 — Л 3 ) (рис. 21) и' опреде лить потом отсюда к. Вычисление дает

I/o sin 4 а • h 4 4 - я sina '

(142)

Далее, определяя по формулам Чаплыгина—Бла зиуса давление на пластинку, получаем после со ответствующих вычислений: _ р.я-sin 4 a-h • I 4 + я slncT • (143) Точка приложения силы может быть найдена из уравнения моментов h j 'yap о Помещая начало координат в середине пластин ки, находим: 3 cos a-h Уо-ТГ+^п'а- . < Н 4 > Как видно из вышеизложенного, метод Кирх гофа требует очень большого числа вычислений. Метод Кирхгофа был видоизменен и упрощен H. Е. Жуковским, рассмаіривавшим функцию Для обтекания кривых контуров методы Кирх гофа и Жуковского не годятся. Метод решения задачи обтекания кривых контуров былданЛеви Чивита и в настоящее время развивается далее им самим, Чизотіи (Cisotti) и Вилья (Willat). Сопротивление пластинки, подсчитанное по ме тоду Кирхгофа, дает значение в два с лишним In С i - d Z

(140)