Гидротехнические сооружения. Том II

(133)—есть диференциальноеуравнение, связы вающее 2 и UT. Интегрируя, получаем

котором свободная струя движется в покоящейся жидкости. Так как давление в окружающей струю жидко сти постоянно, то из интеграла Ьернулли следует, что и скорость на поверхности струи постоянна-. При прерывном движении жидкости удалось с помощью функций комплексного переменного и метода конформных отображений решить неко торые задачи гидродинамики, в частности про стейший случаи истечения жидкости из сосудов с безграничными стенками, а также и обтекания некоторых контуров. Существуют классические методы Кирхгофа, Гельмгольца, Жуковского, Ле ви-Чивита, Вилья, Чизотти и др. Методы Кирхгофа и Жуковского не пригодны для изучения обтекания кривых контуров. В СССР задача об обтекании дуги круга была .решена проф. А. И. Некрасовым, а дуги параболы — Ар жаннковым. Вопрос об обтекании дуги эллипса до сих пор остается открытым. Основная за дача теории струй—найти функции течения W = 4 - f 'А Метод Кирхгофа заключается в следующем: вводится новая функция С dz_ dW' обратная комплексной скорости, равной dW и — IV = -Г- . dz Очевидно, С = и -г IV (128) (129) • і ѵ и' 1 + V- (128') Ч Воспользовавшись известными формулами Эйле ра преобразования в полярные координаты г, б для выражения комплексных величин, имеем: dW = и • dz U + IV • IV = qe ч- ,-і') (129') (130) Если твердая стенка прямолинейна, то из (130) видно, что на стенке аргумент 0 будет постоянным, а на свободной струе (из интеграла Бернулли) — скорость постоянна. В бесконечности скорость следует принять равной нулю. Предположим, что область, занятую функцией С удалось конформно отобразить на какую-то дру гую область t, т. е. найти такую преобразующую функцию / ] , что t h (Q- изо Предположим далее, что удалось отобразить на ту же область функцию W так, чтобы отобра жения соответствующих точек С и 1С совпали. Иначе говоря, пусть удалось найти функцию / 2 такую, что t = / o (U7 ) . (132) Исключая из (131) и (132) і, получаем С = / ( W) или, заменяя С ее значением из (128):

(134)

f / m dW.

• =

Отделяя в (134) действительную и мнимую части, получаем параметрические уравнения линий тока в виде: х — х ('f, 6), у — у (ф, 6). (135) Уравнения (134) и (135) решают вопрос. Давление потока определяется из интеграла Ьернулли или по формулам Чаплыгина—Блазиуса. Областью t, связывающей Ç и W, обычно является верхняя полуплоскость (часть координатной пло скости, ограниченная действительной осью и содер жащая положительную часть мнимой оси) или полукруг с радиусом, равным единице. Главная трудность заключается в нахождении областей, занятых функциями С и W, и конформ ном их отображении на одну и ту же полупло скость t так, чтобы соответствующие точки со впадали. Для примера рассмотрим обтекание потоком, составляющим в бесконечности угол а с пластин кой (рис. 20).

К7 в, А \ ^ V в,

Рис , 20

Рис . 21

Струйка С в точке А раздваивается и сходит с концов пластинки В, и В.,. За пластинкой обра зуется область застойной жидкости, ограниченная струями В Х С и В 2 С. Точку А берем за начало координат, а пластин ку располагаем но мнимой оси А У. Пусть струй ка С имеет в бесконечности до и после пластинки скорость qо. Построим область, занятую комплексной ско ростью if- (рис. 21): dW „_„. Я = « — " ' = (136) В точках В { и Вп скорость направлена по мни мой оси, т. е. вектор скорости в этих точках есть Ш = "7о. Ч В , • '4w Таким образом на плоскости комплексной ско рости 9* мнимые части меняют знак, поэтому этим точкам В ь В., соответствуют точки В 2 так, как показано на рис. 21. Далее, точке С в бесконечности до пластинки и после пластинки соответствует точка плоско сти q c : ч"с—чо ісШ ; точка А — место разветвления струек — соответ ствует очевидно началу координат плоскости q*. Таким образом область, занятая д*, есть полу круг АВ,СВ,А. Этот полукруг можно преобразовать в полу-

dz_ dW' •пщ

(133)